Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
с2
*дП
- (Dij + Ai}) (DkI + AkI) + DDih - DijDfk + 3AijAkI +
+ j (*VtFk+*VkFi) - -J-FlFk-CKik = I (pC2/iift+2uift-«/iJ. 16* 243 Согласно работе 1619], те же уравнения ОТО, но в к. и. форме будут
JL ? + Dliaw-I-FflI = О,
1 "<*.(«*»*) + сД» а,гх1 + ш.а, _ ± рт = о,
С
(S)
dt
JdE
dt
+ mDijvhi — mFiV1 = IllVi,
(21.73)
"dpk
dt
+ AkijPiVi + 2 ItiDkiVi — mFk = і
1
dt
Dp + ^-DijUH +
Vr
Fi Л
--,FjJi = О,
dt
+ DJk + 2 DkiJi +
Vi—72 ^J
(21.74)
— pffe = О
и, наконец,
+ DjiDi1 + v .F/ _ JL F .F/ = _ * (р,2 + и)|
а*
JdDik dt
с* " 2
Vy (MD — Di і) =
— ZDijDik + DDik + ^iFk —
(21.75)
— -JT Fipk — C2Hik = у (pc2hik + 2uik — uhik).
В отличие от метрической формулировки ОТО, где эйнштейновы уравнения поля сформулированы относительно искомых гравитационных потенциалов уравнения тяготения (21.71) и (21.75) являются уравнениями относительно динамических характеристик систем отсчета. Эти уравнения относятся к такой стадии записи эйнштейновых уравнений тяготения, когда сохраняются выражения jR^v и R через коэффициенты связности, содержащиеся в Rnvhcf, но не через а через коэффициенты вращения Риччи (без дальнейшего шага — перехода от y\v к hj). Отсюда следует связь уравнений (21.71) и (21.75) с тетрадным представлением ОТО. Она кратко, но исчерпывающе рассмотрена в работах [543, 584]. На основании определений (14.7), (14.9) (в общем случае соотношения
244. Q^v' 'рт... = AW-VV-Qflb-Crf...) (21.76)
и аналогичных перелицовок ковариантных производных (20.19) и (20.20) можно сформулировать простые правила перехода в уравнениях (20.31) — (20.37) от лоренцевых (физических) компонент к специальным физическим компонентам, отмечаемым звездочкой под коренной буквой. Для этого необходимо все тетрадные индексы, за исключением нулевого, заменить на общековариантные, пробегающие значения
0, 1, 2, 3. Ковариантные производные V^ и V(0) заменяют-
* *
ся на ковариантные производные V« и Vt относительно коэффициентов связности (20.20). Например, первое из уравнений (20.36) с помощью этих правил запишется в форме
дш + PD + Vv + (у, - К) J* - PJ* = О- (21.77)
Есть два вида калибровочных условий на тетрады, при выполнении которых суммация в /?-ковариантных уравнениях, отнесенных к криволинейным координатам, автоматически сводится к суммации от 1 до 3. Это условия вида А0а = 0 и A0a = O *>. В случае условий A0a = 0 криволинейные компоненты R-тензоров, у которых хотя бы один ковариантный индекс принимает нулевое значение, равны нулю. Вследствие этого уравнения, записанные ковариантными компонентами, также будут содержать только пространственные индексы. Выражения для коэффициентов связности при этом значительно упрощаются [543, 584]:
*
= (?j = \ іҐ (?* + - W*
(21.78)
Л \ = D\-A\. Эти коэффициенты связности те же, что и в аппарате х. и. Поэтому уравнения (20.31) — (20.37) при отбрасывании скобок у
~ * *
индексов и замене операторов Va, V(0) на V«, V* по своему смыслу совпадают с соответствующими уравнениями теории хронометрических инвариантов. Для того чтобы они имели
точно такой вид, как в теории х. и., необходимо раскрыть ко-
*
вариантную производную V* и учесть, что трехмерный тензор
*
кривизны R*a?Y6 и тензор #a?y6 аппарата х. и. связаны соотношением
* # * * _ Y6 = —Ha?Y6 — 2 (Aa? — Da?) Ay6. (21.79)
*) Эти калибровочные условия использовались А. А. Коппелем для изучения систем отсчета с ньютоновым временем («Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат. наук», 1978, № 2, 123).
245. Это соотношение показывает, что При определении Uabcdf согласно уравнениям (20.23)-(20.37), используется R-ковари-
антная производная по времени, тогда как в определение
*
#a?v6 входит частная хронометрически инвариантная производная по времени.
Если выполняются условия h°a = 0, то нулю равны криволинейные компоненты ^-тензоров, у которых хотя бы один контра-вариантный индекс принимает нулевое значение. Следствием этих условий является также обращение в нуль величины Aab = = Q(0)ab- При выполнении калибровочных условий Zi0a = 0 уравнения (20.23) — (20.37) после отбрасывания скобок у локальных
* *
индексов и замены операторов уа, у(0> на уа, у* совпадают по форме с уравнениями теории кинеметрических инвариантов. Из
соотношения (20.26) видно, что кинеметрические производные * *
Va и определяются относительно коэффициентов связности [584]:
Aa?v = {^} = 7 ?#a<Wva + ^M - дбёъу)> (21-80)
f = /г°(0) = Vr^r, ga - h\0)/h\0) = ga0/g™.
* a
Так как D ? является кинеметрически-ковариантным тензором, то его можно исключить из коэффициентов связности и ввести усе-
ченные коэффициенты связности Aap = — /dpga. Именно эти коэффициенты связности используются для определения кинеметричес-кой производной по времени "d/dt [619]:
^ А» I Ya Лг Xvn«
~ir~ = V<Q + Д V^f ?-A eV V. (21.81)
д _ д (д a д — -ft(0) ^v ^a
Таким образом, уравнения ОТО в форме хронометрически-и кинеметрически-инвариантной суть координатные выражения соответственно двух частных случаев /?-ковариантных уравнений ОТО. Эти выражения являются результатом перелицовки ^-инвариантных уравнений по указанным выше правилам. Полученные в результате перелицовки уравнения, очевидно, ковариантны только относительно тех преобразований координат, которые не нарушают условий Zioa = 0 и Zi0a=0. Из п. 17.13 видно, что, в частности, при jlli = 0, s=a, v=?, Zi==(O) в (17.73) условия Zioa=O не нарушаются при преобразованиях,
