Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
(18.32)
(18.33)
+ -j- є + 0 - В + — — а
(V)ho(D=0 = + а А + + ah + гВ + 2 А + а2е— Z В (18.34)
Zh . — - А + ahe
I + в +~7Г .
202. Варианты этих тетрад при нижних и средних знаках связаны преобразованием инверсии Pft^=Cliag (—1, —1, 1). Это преобразование эквивалентно замене —В. Варианты тетрад (18.34) при верхних знаках и тетрад (18.30) при нижних знаках связаны локальным преобразованием из /^-подгруппы:
LkTi = (v)ao(I)=OC1u3(I)=O = 1 0 0
акг
гА
0
BVr2+h2 — гА
ву г2+н2
a/ie
(18.35)
BYr2+h2 BV r2+h2 Следовательно, при одних и тех же значениях H и є и любых знаках г и ср найденные сопутствующие тетрады входят в один и тот же класс транзитивности тетрад. Связь между классами транзитивности осуществляется локальными лорен-цевыми преобразованиями, содержащими гиперболические повороты, возникающие за счет изменения калибровочных постоянных. Так, ограничившись для простоты лишь верхними знаками и случаем г>0, ср>0, находим [547]
D1- Zi1Zi2 г2 CtrD2 H Ii2Di г*
arD2 T2Di Urh2D2
г S2 Пг2
KD1 V2 CirhiD2 -k^Di-V ГіГ2
r2rt г2 г S2
V2
ГіГг
( 18.36
Гі = Ут2 + Щ , r2 = Vr2 + hl , Di^a2EiE2- A1A21 D2 = EiA2 — E2Ai. При єі =82, Hi = Ii2 это локальное лоренцево преобразование становится тождественным. Поэтому H и 8 могут быть также названы постоянными класса транзитивности тетрад.
Изложенный выше путь использования калибровочных условий для разыскания произвольных функций может быть принят и в случае изотропных тетрад. В работе [40] этим путем найдены тетрады, сопутствующие изотропным геодезическим линиям в поле Шварцшильда.
203. Сопутствующие тетрады можно также найти другим способом — применяя локальное лоренцево преобразование *) к некоторым исходным «закрепленным» тетрадам [546, 569]. Тогда вместо калибровочных условий задаются параметры локального преобразования Лоренца. Этот способ разыскания сопутствующих тетрад в поле Шварцшильда использован в работах [36, 37, 39]. Если тетрады сопутствуют геодезическим линиям, их называют «свободно падающими» [570, 571].
Таким образом, возможности использования калибровки сопутствия разнообразны. Свобода выбора ориентации триады в данном классе транзитивности тетрад является одним из источников разнообразия математических форм физически эквивалентных калибровочных условий.
§ 19. КЛАСС X. И.-ПОДОБНЫХ КАЛИБРОВОК
19.1. Определение класса. Как видно из § 17, калибровки Ламе, требующие равенства нулю некоторых компонент обобщенных коэффициентов Ламе, позволяют найти неизвестные их компоненты в виде характерных по форме единообразных отношений, таких, как отношения (17.8), (17.19), (17,25), (17.32), (17.41), а в общей записи (с незафиксированными, но ограниченными значениями индексов) — (17.50), (17.55), (17.64) и др. Впервые один из случаев такого рода отношений введен в общетеоретических построениях теории хронометрических инвариантов для выражения компонент хроно-монады **) через компоненты метрического тензора 4-пространства ОТО (без использования понятия калибровочных условий в смысле тетрадного представления ОТО, см. далее § 21). Поэтому упомянутые отношения будем называть х.и.-подобными. Поскольку ОТО допускает в принципе множество калибровок, очевидно, можно, наоборот, на правах калибровочных условий наперед потребовать, чтобы некоторые из компонент IllXk равнялись х.и.-подобным отношениям. В работе Ю. С. Владимирова [563] так и сделано (в ней эти равенства названы «групповыми калибровками»). При этом оставались в стороне нормы тетрадного метода, не выделялись именно независимые условия с целью присоединения IC системе (13.5) для совместного решения и, таким образом, для разыскания остальных неизвестных компонент IilXk. Поэтому в работе [574] Ю. П. Выблым произведен пересмотр
*) Его бивекторная параметризация применительно к вращению в плоском 4-пространстве использовалась в работе [568].
**) Преобразование хроно-монады при переходе к другой системе отсчета с помощью локальных преобразований Лоренца рассматривалось в работах [572,573].
204. равенств некоторых из компонент IiiXk X.и.-подобным отношениям как калибровочных условий в смысле тетрадного метода с его нормами, не допускающими избытка калибровок. Так как и другого вида калибровочные условия могут генерировать подгруппы преобразований, то заменим слишком общее название «групповые калибровки» на более узкое — «х.и.-подобные калибровки». Будем далее называть классом х.и.-подобных калибровок все множество полных и неполных наборов калибровочных условий, требующих равенства соответствующего числа компонент H^h х.и.-подобным отношениям. Перейдем к рассмотрению этого класса, следуя статье [574], а тем самым соответственно опираясь и на работу Ю. С. Владимирова [563]. Это позволит выявить две характерные черты, отличающие класс х.и.-подобных калибровок от класса Ламе.
19.2. Хроно-монадная калибровка. Присоединим к системе (13.5) условие
Aiiiw = Vr-^ii1Ii1 ^-SwjV-g^, (19.1)
где JJLі — фиксированный индекс. Тогда из системы (14.5) выделяется подсистема из четырех уравнений
