Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
foe — KbhOb = (ftio)( 123) = V0)/*o(o)> Ьф(0)9
(17.10)
fl (0) = (gno)(123) = g»0
V— (goo)(123) Vgoo
gm — Kkhik = (g?v)<02S) = V1)Ai(i)> Ьф(\),
_ (17.11)
K{i) = (gal)(023)/K(?ll)(023) = CfiTaO(O)ZVr(?Tli)(0) > g»2 — KhhIh = (STii2)(OlS) = V2)/l2(2)> k Ф (2),
(17.12)
*.<¦> = V teu = УиЯт, = Jfi^- = ,^L,
к (^22)(013) V (^22)(01)
184g?3 — KkH3k = (^3)(0І2)> As(8) = К(Ы(012) , кф(3). (17.13)
Эти выражения соответственно совпадают с (17.8), если учесть, что в согласии с принятой калибровкой часть компонент усеченных метрических тензоров, входящих в компоненты (17.8), равна нулю.
17.4. Двойственный канонический набор. Он требует, чтобы
/J3(O) = Zi3(*) = Zi3(2> - 0, Zi2(O) = /J2(I) = о, Zi1(O) = 0. (17.14)
Поэтому его естественно задавать символом З3<2>22(2>li(1>- В этом случае система (13.5) примет вид, сходный с видом уравнений (17.4) — (17.7), если ввести другие варианты усеченных метрических тензоров:
g»s = V3)W (17.15)
(fitffo) = gn2 — K(3)fh(3) = V2)/*2(2)> (17.16)
(ftiifos) = gixi — V2)/lK2> — V3)Ai(3) = K^hiiih (17.17)
(fooW= V0)/*o(o), (17.18)
где автономной является подсистема (17.15). Отсюда соответственно находим:
h (3) _ ft*3 J1^2) _ (6112)(3)
Vgzz ' /(622)(03)
(17.19)
Z1^1(I) = (бид)(23) ^(0) = (gno)(123)
V (g 11)(23) !^-(^00)(123)
При диагональном g?V решения (17.19) становятся диагональными, так же как и решения (17.8).
17.5. Побочный канонический набор. Зададим его символом Зо<3)2і(2)І2(0). Полные наборы калибровок (17.3), (17.14) требуют равенства нулю компонент HlXk1 лежащих под (над) главной диагональю матрицы Ламе. Примем набор, обращающий в нуль компоненты, лежащие над побочной диагональю матрицы Ламе:
Zi0(O) = Zlo(I) = Zj0(2) = о, Zll(O) = Z4(I) = о, Zi2(O) = о. (17.20)
Эти условия придают (13.5) структуру, аналогичную структуре уравнений (17.4)-(17.7) и (17.15)-(17.18), но при новом варианте усеченных метрических тензоров:
ftio = У3)йо(а>. (17.21)
(Ы(з) = йи - V3)^K3) = V2)^I(2), (17.22)
(Ы(23) = V1)/l2(i), (17.23}
185Ы(ш) = У0)й3(о). (17.24)
Автономной подсистемой оказывается (17.21). В этом случае
уз) = fi* f yt) = _J&0<«_ .
к*. • кы<, (1725)
^(1) = (gn2)(23) ^ ^(0) = — (ё"цз)(123) в V{g2s)(2Z) V— (633)(123)
Если отличны от нуля лишь компоненты g^v, расположенные на главной диагонали, то не равны нулю лишь компоненты А* стоящие на побочной диагонали:
Тогда
A3(o) = Y-gzz, Zl2(I) = Yg22i hi(z) = Ygiu H0(Z) = Yg00. (17.26)
17.6. Пример неканонического набора. Рассмотрим набор 31<0)2o(1)l2(2)t обращающий в нули некоторые из компонент, лежащих и на главной, и на побочной диагонали матрицы Ламе:
Zll* = 0, А0<2> = У3> - 0, /Ї2<3> = 0. (17.27)
Да = У0)Аі<о>. (17.28)
(Ы(о) = УЧко, (17.29)
(ДіЛої)= V2)^(2), (17.30)
(йГцв)(оі2) = VS)Aa(8)- (17.31) Автономное значение имеет подсистема (17.28). В этом случае:
Hli(O) = , Zi^1) =
V-gii V(goo)( 0) (17.32)
= (g|*2)(0l) _ ^(3) __ (gu3)(012) V{gl%)(0i) 1^(^33)(012)
При диагональном ^v (главная диагональ)
A1(O) = V-giu Ао(1) = Vgoo, Уа) = Kfe У3) - К^зз. (17.33)
17.7. Обратный канонический набор. Коэффициенты A^fe имеют обратные коэффициенты Ламе, определяемые соотношениями
Khh\=b\, =SfXv- (17'34)
Поэтому для каждого набора калибровочных условий Ламе, наложенных на коэффициенты АД с помощью соотношений (17.34) может быть найден обратный набор калибровок Ламе^ наложенных на коэффициенты AV Символическая запись обрат-
186.ных наборов аналогична: /i%t. В частности, из уравнений (17.14) и (17.34) находим следующий обратный набор З°(3)21(1) 12(2):
h\ = 0; h\2) = Zi1(S) = 0; h\z) = 0. (17.35)
Обратные наборы могут приниматься независимо от наборов для /i^. Тогда для разыскания остальных компонент обратной матрицы Ламе (Zi^) присоединим калибровочные условия (17.35) к системе уравнений
gw = h\h\= diag (— 1, 1, 1, 1). (17.36)
Из уравнений (17.35) и (17.36) находим
^o = ft»(0)fto<o>f (17.37)
о) = (17.38)
(#*)m=h\2)hX*\ (17.39)
(^3 )(oi2) = ^(3)A3(3), (17.40)
in - -F0 u* -JA.
Z7iX _ M(Ol) UX _ (g^3)(0l2)
(17.41)
В отличие от предыдущих случаев в эти соотношения входят обратные усеченные метрические тензоры, а полученные обратные коэффициенты Ламе позволяют непосредственно найти не контра-, а ковариантные компоненты квазикоординат dxk. Это придает калибровкам, накладываемым на Zi^fe и на /1?, разный геометрический и физический смысл, поскольку,
например, dxW задается геометрически в локальной области парой точек, a dx(0) — элементами пары гиперплоскостей [554].
Усеченные метрические тензоры связывают между собой ко- и контравариантные компоненты величин в соответствующих подпространствах. Если одни из этих компонент принадлежат дуальным величинам, связь осуществляется дискрими-нантным, полностью антисимметричным тензором (14.39). К нему также применимы различного рода операции усечения, например
(Ла370)(0) — ЛаРї0 — ft0(0)rWv(0) = Vn<x?va (17.42)
или
OWvo)«» = ЛаЗто — Ла(0)Л(0)М = V1W- (17.43) 17.8. Области применимости. Калибровки Ламе в T-области. Все найденные выше выражения для обобщенных коэф-