Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
B^ =- -s—
о ^oo
BJ'--V
(1^..-.. У.I*'-0
Ba =— g
goo
(20.52)
(20.53)
Очевидно, преобразования (20.48), (20.49) и (20.52), (20.53) являются взаимно-дуальными [545, 547]. Они при ?00=7^0, g°°=?Q несингулярны и неголономны. Действительно, из выражений (20.48), (20.49) находим, что компоненты объекта неголономности отличны от нуля:
QPmii= Q0mn = A-VA-VdlilA^ =
= д[п + І2Е2- o,o, . (20.54)
goo goo goo
В случае преобразований (20.52), (20.53):
(fi*on)„oa=o = 4 -g^ = VW^1 - (20.55) ^ g
§ 21. ПЕРЕХОД К XPOHO- И КИНЕМЕТРИЧЕСКИМ ФОРМУЛИРОВКАМ ОТО
21.1. Перенос в ОТО преобразований трехмерных координатных систем, не содержащих времени. Их дополнение.
Сначала остановимся на элементах истории, предшествовавших созданию хроно-инвариантного представления ОТО. Предположение об абсолютном характере времени ограничивает дорелятивистскую физику группой преобразований трехмерных пространственных координат, вообще говоря, криволинейных:
я«'=*«'(*?). (21.1)
Допускается, что она не играет физической роли. Это, в частности, проявляется в понимании движения как изменения
220. пространственных координат не под влиянием преобразования (21.1), а с течением скалярного параметра-времени: х? = = xa(t). СТО в построении Минковского ввела время-координату. Движение стало пониматься как изменение пространственных координат с изменением не параметра-скаляра, а временной, четвертой координаты, которую можно подвергнуть преобразованию Лоренца. В групповой подход это вносит существенные изменения, так как с движением связывается уже не только зависимость л:а=лга(л:0), но и преобразование Xа' =Xccf л;0), которое также дает возможность установить некоторую связь между движущимися телами.
В частности, подгруппа (21.1) относится к глобальным декартовым координатам СТО. Тогда это — подгруппа собственной группы Лоренца (Я-подгруппа с постоянными коэффициентами преобразования). Она не меняет физической ситуации в силу положения СТО об изотропии и однородности 3-пространства. Например, не меняет 3-расстояния между двумя заданными точками.
С переходом к ОТО подгруппа (21.1) относится уже только к криволинейным координатам и обсуждается ее дополнение преобразованием *)
Образовавшаяся при этом подгруппа и возможная относительно нее инвариантность обратили на себя внимание на первом же этапе развития ОТО. Иллюстрируем это следующими словами А. А. Фридмана: «Рассматривая физическое пространство и время в отдельности, мы видели, каким образом произвольность арифметизации как пространства, так и времени заставляет признать, что собственные свойства пространства и времени, т. е. свойства, не зависящие от способа арифметизации, должны быть инвариантны по отношению к следующим преобразованиям чисел xh x2f я3 и t, арифмети-зующих пространство и время одним способом, в числа хи X3 и ty арифметизующие пространство и время другим способом
*> Слева стоят номера уравнений, соответствующие номерам в выдержках из литературы.
(13)
X0' = X0' (*«, х°), а = 1, 2, 3.
(21.2)
(15)
(21.3Ь)
(21.3а) (21.3)
221. Нетрудно видеть, что эти преобразования особо выделяют роль времени и не являются самыми общими преобразованиями...» [465, с. 57]. Предварительно Фридман специально обсуждает преобразование (21.2), взятое в отдельности от подгруппы (21.1), (оно вводится в его книге [465] под номером (13)): «...конечно, собственные свойства времени (физи. ческого) должны быть в данной точке инвариантны относительно преобразований, установленных формулой (13). Одним из таких собственных свойств физического времени является промежуток между двумя моментами времени,— понятие, аналогичное для одномерного «пространства» времени понятию физического расстояния в трехмерном пространстве» [465, с. 55]. Подгруппа (21.1), как уже упоминалось в п. 16.5, непринужденно выделяется в ОТО при изучении статического поля и ее использование влечет за собой реконструкцию уравнений ОТО — выделение в них трехмерных величин: «В этом случае временная координата определяется однозначно и является гармонической. Это оставляет группу преобразований пространственных координат. Таким образом, в этом случае естественно применить формализм 3-мерного тензорного анализа и соответственно записать уравнения гравитационного поля, что было сделано в работе Леви-Чивита» [587, с. 209]. А. Фок обобщает построение Леви-Чивита на конформные пространства, также выделяя трехмерные величины в эйнштейновых уравнениях тяготения и их решениях [587, 588]. (См. также задачу в [23, с. 356], в решении которой уравнения Эйнштейна переформулируются в случае постоянного гравитационного поля к виду, содержащему трехмерный метрический тензор локальных пространств и ковариантные производные в этих локальных пространствах.)
ОТО, как известно, не ограничилась подгруппой (21.3). Первое из приведенных выше замечаний А. А. Фридмана заканчивается словами: «...Уже самый неестественный вид формул (15) показывает на необходимость дальнейшего их обобщения» [465, с. 58]. Перейдя от подгруппы (21.3) к общей, эйнштейновой группе
