Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
и учитывая, что
А/ = AVvs+ h^ihj1 = = 0, (17.72)
из уравнений (13.26) и (17.71) находим /Л'в=0. Тогда из подсистемы (17.62) вытекает LsZi = O, L'1'/ = 0.
Таким образом, требования'ковариантности монадных калибровок Ламе для A^n и ковариантности калибровок, им взаимных, для h\ генерируют одно и то же подмножество локальных лоренцевых преобразований.
17.13. Подмножества Р-преобразований, генерируемые мо-надными калибровками. Потребуем ковариантности этих калибровок относительно общих координатных преобразований:
(V)V=0' (VX1-S = O, Зф1и (17.73)
(AvZi)3^iS=O, (Av^i)3jai5=O, V^1. Из выражений (13.25) и (17.73) находим
Py'»t = Av'/, A^ + AvXs - 0. (17.74)
Это ограничение, выделяющее подмножество координатных преобразований, является единственным. Аналога ограничений (17.73) не существует, так как в ОТО, вообще говоря,
g^' = Pr/'/^ ^v- (17.75)
13. Зак. 3 193 Требование ковариантности взаимных монадных калибровок
(h\)3n,s = 0, (h^'s)3VLi_0 = 0, (Kll)3il'а=0=0, (fh-%t_0 = О
(17.76)
и выражение (13.25) генерируют ограничения
= A1SA'1 + AlilAs = 0. (17-77)
оставляющие произвольными все остальные коэффициенты.
Следовательно, в отличие от требования ковариантности монадных калибровок относительно локального лоренцева преобразования требование ковариантности относительно общего координатного преобразования монадных калибровок и их взаимных монадных калибровок 3^1s генерирует разные подмножества координатных преобразований.
В работе [564] основные сведения о классе калибровок Ламе собраны в виде таблицы. Там же рассмотрен вопрос о применимости калибровок Ламе к полуизотропным и изотропным тетрадам. Показано, что если в уравнениях (14.30) локальный метрический тензор полудиагонален, то существуют неполные наборы калибровок Ламе, позволяющие отщепить автономную подсистему и найти из нее компоненты ненулевых векторов тетрады. Если же в уравнениях (14.30) тензор Tpm образован из четырех нулевых векторов, то калибровки Ламе При Произвольном guv не позволяют выделить автономную подсистему [564].
§ 18. КЛАСС КАЛИБРОВОК СОПУТСТВИЯ
18.1 Определение класса. Во многих задачах ОТО введение калибровочных условий с самого начала связано с кон-груенцией мировых линий или одной мировой линией. При этом в работе {566, § 7] употребляется термин «тетрады на линии», в сборнике [567, с. 72] — «концепция одиночного наблюдателя» и «заинтересованного наблюдателя» *).
Будем называть калибровочными условиями сопутствия полные и неполные наборы условий, накладываемых на лоренцев базис, присоединенный к мировым линиям, которые наперед заданы уравнениями в параметрической форме х»= =xv(s) или дифференциальными уравнениями движения.
В первом варианте дополнительные условия выгодно присоединять не к уравнениям Эйнштейна или к системе (13.5), а к следующим уравнениям относительно АД полученным из соотношений (15.17) после свертки с HlXnXh и суммирования по X:
*> Седов Л. И. III Конгресс, Механика. Варна, 1977, с. 17; «Acta Astronaut», 1978, 5, 491.
194. ~ h\ = -A- h\+ nah\x° = yk\h\ OS ds
(18.1)
Здесь Г&у предполагаются известными из метрической формулировки ОТО, а компоненты х° находятся дифференцированием заданных выражений Метрическая формулировка, вообще говоря, не содержит сведений о шести функциях СО An. Поэтому задание некоторых из компонент может рассматриваться как введение калибровочных условий, накладываемых на лоренцев базис. Величины тп — параметры бесконечно малого лоренцева преобразования при перемещении векторов этого базиса из данной точки в точку бесконечно близкую [35]. Такого рода калибровочные условия можно комбинировать с другими условиями, накладываемыми на /1?.
18.2. Полный набор «калибровок Френе — Серре». Рассмотрим уравнения Френе — Ceppe в 4-пространстве ОТО с точки зрения теории калибровочных условий. Зададим мировую Временно-подобную линию уравнениями X^ = X^(s). Пусть в точках этой линии лоренцев вектор Є(о> к ней касате-лен. Тогда квазикоордината dxfP) также задана на касательной, т. е. dx(°)=ds. Условия касания могут быть записаны в виде
= dx^/ds == dx^/dxW = P9 (18.2а)
где скорость dx^/ds известна, поскольку имеется уравнение мировой линии. Дополним этот набор калибровок из трех независимых уравнений еще тремя условиями:
(і)(о)(2) = 0> ?,3(0)(3) = о, 0)(3)(1) = 0. (18.2Ь)
При этих условиях со(0)(1) = 6, <0(0(2) = Cy (0(2)(3) sd — соответственно первая, вторая и третья кривизны заданной мировой линии. Их также можно считать известными, поскольку их можно вычислить, пользуясь формулами дифференциальной геометрии с помощью Xlk9 Присоединив «калибровки Френе—Серре» (18.2а) и (18.2Ь) к (18.1), получим:
б
— /Ло) = ®(0)(1)/Лі>'
б S
-І- А% = Іо(1)<2>/Л2) + 0)(,)(0)^(0), (18>3)
13*
195 — ti*{2) = + 0)(2)(?%, os
-f-Ali(S) = w^a). os
Введем локально-безындексную запись, обозначив разные векторы лоренцевой тетрады разными коренными буквами:
= A^1) = Bix, h\2) = Сд, АД(3) = Dm",
Л(о)(о) = — 1 = г)(1)(1) = 1 = B11Bil, (18.4)
