Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
12*
179 новых уравнений и возможной нелинейности координатных и калибровочных условий относительно искомых АД Проявления в конкретных случаях нелинейности весьма разнообразны. В некоторых ситуациях характер калибровочных условий может исключить влияние нелинейности уравнений поля. Однако, вообще говоря, следует ожидать вырожденных случаев калибровочных условий. В § 19 покажем, что возможны такие ситуации, когда число калибровочных условий, меньшее шести, позволяет разыскать все 16 искомых AlAft. Исследование таких вырожденных калибровочных условий должно занять свое место в теории калибровок тетрадной формулировки ОТО.
Известно, что произвольно заданной координатной системой, вообще говоря, нельзя покрыть все четырехмерное пространство ОТО. Так, например, в поле Шварцшильда одни координатные системы свойственны /^-области, другие Г-области (область сферы Шварцшильда). Аналогичная ситуация имеет место и при задании калибровочных условий. Так, например, тетрады в поле Шварцшильда, равные корням квадратным из g^v, имеют разный характер в двух указанных областях: в ^-области (при использовании стандартной системы координат) они вещественны, в Г-области мнимы. Мнимость тетрады может передаться времени, длине. Тогда, естественно, виновные в этом калибровочные условия как несвойственные данной области 4-пространства должны быть отброшены и заменены другими.
Известно, что выбор для изучения того или иного гравитационного поля координатных условий приводит к ^j1V разного вида. В частности, выбор координатной системы может привести К сингулярным значениям отдельных компонент g^v. Эти сингулярности неинвариантны и, следовательно, могут быть устранены координатными преобразованиями. Такие координатные преобразования могут оказаться принадлежащими некоторой специальной подгруппе и таким образом могут быть «координатными представлениями» некоторой локальной подгруппы Лоренца. Поэтому к устранению неинвариантных особенностей метрического тензора могут быть привлечены и локальные лоренцевы преобразования. Идея их привлечения предложена в работе [561] и нашла развитие в создании общего метода устранения неинвариантных особенностей с помощью L(x). В работах [35, 558] этому посвящены отдельные главы.
Неинвариантные особенности g^v, порожденные выбором координатной системы, очевидно, могут быть унаследованы и тетрадами A^. Действительно, из (13.7) вытекает, что A^ft могут быть представлены как функции ^v. Сингулярность ^v может быть передана и этим функциям. Однако в тех случаях,
180 когда g^v не имеет сингулярностей, тетрады, найденные из (13.7), могут оказаться сингулярными.
Поэтому следует различать два вида сингулярностей тетрад: особенности, вызванные неинвариантными сингулярно-стями g^v и устранимые одновременно с ними координатными преобразованиями, и сингулярности, являющиеся следствием принятого набора калибровочных условий и устранимые изменением калибровки, т. е. с помощью локальных преобразований Лоренца. В статье [562] первый вид сингулярностей Zi^fe назван координатными сингулярностями тетрад, второй — калибровочными сингулярностями тетрад. В общем случае тетрады содержат оба вида сингулярностей. Тогда для их устранения необходимо одновременное применение координатных и локальных лоренцевых преобразований. Наличие того или другого вида калибровочных сингулярностей может привести к разрыву физических компонент величин, а также выявить область применимости калибровочных условий. Поэтому «калибровочные сингулярности» — одно из новых понятий, которое следует привлечь к построению общей теории калибровочных условий.
16.8. Программа изучения калибровочных условий. Заканчивая общий анализ калибровочных условий, резюмируем основные пункты программы их изучения.
1. Сбор сведений из литературы по ОТО о применявшихся по разным случаям калибровочных условиях (явно- или неявно). Изучение их конкретного физического содержания. Выделение автономных неполных наборов калибровок, объединение калибровок в классы. Изучение областей их применимости, калибровочных сингулярностей, случаев вырождения.
2. Изучение групповых аспектов калибровочных условий: подгрупп ковариантности неполных наборов калибровок — локальных лоренцевых и их координатных представлений.
3. Образование при разных калибровочных условиях из мировых компонент компонент физических и «специальных мировых компонент». Изучение трансформационных свойств тех и других компонент относительно специальных преобразований в зависимости от выбора калибровочных условий и от подгрупп их ковариантности.
4. Переформулировка эйнштейновых уравнений тяготения к форме, ковариантной относительно специальных подмножеств преобразований — подгрупп ковариантности неполных наборов калибровок. Переформулировка в том же смысле уравнений движения, прежде всего для пробных тел, приведение их к спец-ковариантному виду.
5. Сопоставление различных специальных формулировок ОТО, построенных на основе различных подгрупп.
181 § 17. КЛАСС КАЛИБРОВОК ЛАМЕ
17.1. Определение класса. Как видно из (12.22), Ламе в своей теории криволинейных координатных систем фактически ввел дополнительные условия равенства нулю некоторых недиагональных элементов матрицы своих коэффициентов.
