Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
172 мощью неполных наборов калибровок (метод вычитания из мировых компонент). Как уже отмечено в предыдущем пункте, неполные наборы калибровочных условий, если они автономны, позволяют разыскать соответствующую часть физических компонент величин. В отличие от этого по крайней мере некоторые неполные наборы позволяют найти все специальные мировые компоненты. Это достигается вычитанием из мировых компонент тех их частей, которые найдены с помощью неполных наборов калибровочных условий. Иллюстрируем это на примере неполного набора калибровок, позволяющего найти все компоненты одного из векторов лоренцевой тетрады. Для определенности пусть это будет є(0). Итак, пусть некоторый неполный набор позволил выделить из (13.5) или (13.6) автономную подсистему и однозначно найти из нее h^oy Преобразуя, например, правую часть (14.9), выделенную методом рассечения суммации по локальным индексам, можем представить ее в виде
Q\ = h\ V Qab = h\ V Qkb - h\о) K Q<o>6 = = h\ к Qkn - V0) Qli(O) - A11(O) Q(0)v + Ali(O) V0) Q<0><0) = = Qtlv - K^ h\0) Q\ - V01 Q% +
+ A%A«»V» Afo,Qx0. (16.2)
*
Аналогично преобразуя Qm* из (14.5) и ^v из (14.17), соответ-ветственно имеем
Q% = A%Q(0) = A%,A<»>Q\ (16.3)
g?v = KaKa = KaKb Чаь - gixv ~ У°> K(O)- (16-4)
Следовательно, специальные мировые компоненты могут быть получены по мировым компонентам и некоторой части обобщенных коэффициентов Ламе, найденных из автономных подсистем системы (13.5), выделенной из (13.5) с помощью соответствующего неполного автономного набора калибровок. Как указывалось, имеется два способа введения в ОТО специальных мировых компонент —- путем рассечения суммации по локальным индексам и путем вычитания из мировых компонент. Оба способа позволяют спрятать триаду еа, образуя инвариант относительно ее поворотов. Это возможно в результате введения неполных наборов калибровочных условий. В простейших случаях уместно введение обозначений, указывающих, какие именно компоненты A11* входят в вычитаемые члены, например,
173 *
guv = (?nv)(o)>
Q^ = h^a, Qa = Q^ ^1(O) Q^ = Q^ ^1(O) Q^= (Q^)(O)* (16.5)
16.3. Генерирование неполными наборами калибровок подгрупп (подмножеств) L(x)- и Р-преобразований. Вернемся к п. 13.7 и обсудим соотношения (13.23)-(13.24) с точки зрения неполных автономных наборов калибровочных условий.
Если известны все 16 компонент АД и все 16 компонент АД то все коэффициенты Lk'n могут быть однозначно вычислены с помощью (13.23), т. е. полный набор калибровочных условий для Apfe' вместе с (13.7) или (13.8) определяет некоторое одно локальное лоренцево преобразование.
Каждый коэффициент Lhi где и — фиксированные индексы, определяется не всеми 16 компонентами Apfe' и не всеми 16 компонентами АД а лишь четырьмя из А/' и четырьмя из АД Автономные компоненты набора для АД и для Am* определяют часть компонент АД и часть АД В отдельных случаях может оказаться, что в некоторые из коэффициентов Lk' п войдут только те из компонент АД и АД которые до конца найдены с помощью неполных наборов калибровок. Следовательно, в этих случаях часть коэффициентов L(x) окажется известной, а другая часть — произвольной. Поэтому можно сказать, что в таких случаях неполные автономные калибровочные наборы генерируют подмножество (в частности, подгруппу) локальных преобразований Лоренца. Если на АД и Aj4* накладывается один и тот же неполный набор калибровочных условий (по форме одинаковые требования), то можно сказать, что подмножества (подгруппы) преобразований L (х) генерируются требованием инвариантности неполного набора калибровок. В таких случаях сведения о коэффициентах Lk \ можно получить либо непосредственно из (13.23), либо, и это может быть удобнее, из соотношений (13.21), подчиняя справа и слева соответствующие из коэффициентов АД и A^fe одного вида условиям согласно принятым неполным наборам.
Иллюстрируем сказанное примером. Пусть неполные наборы заданы в виде
Aofl = O, (16.6)
A00' = 0. (16.7)
Из (16.6) следует, поскольку AileAli(O) = So = 0,
Аа(о) = 0. (16.8)
174 Подставляя (16.6) и (16.8) в (13.23), видим, что
La'(о) - К' h\) = С *a<o> + Aoa'/1°(0)=0, (16.9)
La'ъ = К*' Aab, L<°>'<0> - /10(0)/ Л°<о), (16.10)
причем неполные наборы (16.6) и (16.7) не дают никаких сведений о компонентах Aaa' и Ааь, а, следовательно, оставляют La b произвольными. Из (13.7) и (16.6), (16.7) находим
^oo = Ло(0) ^O(O) = Ло(о)/Л0(0)', /1%)= pjp (16.11)
т. е.
L(0)/(o) = l. (16.12)
Условия (16.6) и (16.7) являются одновременно примером неполных наборов и примером требования инвариантности неполного набора, генерирующих подгруппу L(x), а именно 3-па-раметрическую подгруппу пространственных (круговых) вращений. Будем далее называть ее /^-подгруппой.
Перейдем к аналогичному обсуждению соотношений (13.24). Очевидно, как и в случае (13.23), отдельные коэффициенты
Plllixiy где \i[ и Ii2 — фиксированные индексы, могут определяться теми и только теми компонентами из числа A1V и Av\ которые до конца находятся с помощью некоторого неполного набора калибровок. Поскольку остальные коэффициенты из числа P^v будут содержать произвол, то тем самым автономный неполный набор калибровок может генерировать и подгруппу (подмножество) координатных преобразований.
