Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
*) Das Bein (нем.) — нога.
170 войдут во все 16 компонент АД как, например, в работах [546, 547]. В частности, не во все. Эти случаи заслуживают особого внимания, так как в них можно ограничиться п<6 калибровочными условиями, достаточными для разыскания только тех произвольных функций, которые действительно нужны для решения данной частной задачи. Аналогично присоединение неполного набора к (13.5) или (13.6) может не позволить определить до конца ни одной из компонент АД Однако могут быть случаи, также заслуживающие особого внимания, когда присоединение неполных наборов калибровок к (13.5) или (13.6) выделяет из них автономную подсистему, число уравнений которой равно числу содержащихся в ней неизвестных компонент АД Назовем такие неполные наборы автономными, поскольку из выделенной ими подсистемы можно найти входящую в нее часть обобщенных коэффициентов Ламе без привлечения остальных уравнений из системы (13.5) или (13.6), решить эти подсистемы до конца. В случае подсистемы, выделенной из (13.5), она позволяет однозначно определить часть компонент A^fe в виде функций от заданных компонент guv, попавших в эту подсистему. Если нужные неполные наборы выявлены и с их помощью найдены компоненты части векторов лоренцева базиса, то это обеспечивает отыскание части физических компонент ряда величин. По условию это может полностью решить поставленную задачу. Так, например, при решении задачи о мягкой посадке объекта в центральном поле тяготения достаточно располагать знанием только физической компоненты v(V этого объекта. Для разыскания этой компоненты требуется знание только A11W, а следовательно, неполный набор калибровок. Автономные неполные наборы калибровок как позволяющие рационально поставить и решить конкретную задачу весьма ценны и их исследование — одна из важнейших задач теории калибровочных условий.
Недостаточная изученность калибровочных условий выразилась, в частности, в том, что общее понятие автономного неполного набора калибровок введено в ОТО лишь недавно [547]. Возможность выделения в общем виде автономных подсистем системы эйнштейновых уравнений тяготения (13.6) (или системы (13.5), несущей на себе нагрузку эйнштейновых уравнений) с помощью автономных неполных наборов калибровок обычно явно не подчеркивалась. Это в отдельных случаях приводило к недоразумениям. При решении частных задач иногда «злоупотребляли» полными наборами, вводили все шесть калибровочных условий в тех задачах, для решения которых достаточно неполного набора и подсистемы из системы уравнений (13.5). В результате задача решается с избытком: находятся и часть компонент АД требуемая условиями задачи, и заодно остальные компоненты, которые могут быть
171 использованы, но в каких-то других задачах. Это спровоцировало появление в литературе отдельных замечаний, утрирующих тетрадный метод рассмотрением указанных избыточных решений как результата органического порока тетрадного метода.
Введение общего понятия «неполного набора калибровок» для разыскания нужной части обобщенных коэффициентов Ламе с самого начала устраняет возможность появления указанных недоразумений.
Совмещение калибровочных условий с системами уравнений (13.5) или (13.6) придает им определенную структуру, зависящую от характера присоединяемого набора, аналогично тому как основные уравнения электродинамики принимают характерную структуру в зависимости от того, какая принята калибровка для электромагнитных потенциалов (например, лоренцева или кулонова). Присоединение неполного набора также оказывает влияние на структуру систем (13.5) и (13.6). Этим можно воспользоваться как для математического упрощения этих систем, так и для вскрытия аналогий. Например, неполный набор калибровочных условий В. И. Родичева — четыре условия
Vnftli* = 0 аб-1)
позволяет представить тетрадные уравнения тяготения в макс-велловой форме [531, 548]. Однако присоединение неполного набора (16.1) к уравнениям (13.5) или (13.6), вообще говоря, не позволяет однозначно найти часть компонент АД поскольку условия (16.1) содержат все 16 компонент и по своей структуре все эти компоненты ставят в равноправное положение.
Некоторые неполные наборы могут быть одинаковы по своему функциональному виду, по своей геометрической или физической сути, могут отличаться только значениями содержащихся в них постоянных и т. д. Такого рода варианты различных условий (их полные и неполные наборы) естественно объединять в классы калибровочных условий, поскольку они подчиняются некоторым общим закономерностям и поэтому могут рассматриваться с единой точки зрения.
Наконец, подчеркнем еще раз, что уравнения (13.5) и (13.6) нелинейны. Калибровочные условия также не обязаны всегда быть линейными относительно АД Отсюда следует, что В принципе искомое ЧИСЛО компонент Ajxfe может быть найдено при пониженном числе калибровок.
Следуя работе [549], будем называть такие наборы калибровочных условий вырожденными. На них специально остановимся в п. 16.7 и в § 19.
16.2. Построение специальных мировых компонент с по-
