Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Коль скоро понятие системы отсчета должно выводиться из понятия лаборатории [552], ее естественно определить как поле лоренцева базиса (орторепера, нормированного на единицу) при свободной ориентации триады и задавать референ-ционными условиями в указанном смысле. Калибровочные условия (все шесть) являются достаточными условиями для задания системы отсчета.
Выделим из Lk'п подгруппу (La\)j пространственных поворотов и преобразований инверсии триады, а из множества T тетрад выделим подмножество Tu удовлетворяющее условиям:
1) при любых La'b и Ii^n таких, что
12. Зак. 3 177 La\e(La\b Ka Єт и
(16.13)
имеем
С 6 Ti9 Лц(0)/ = У°>, У = V. (16.14)
2) если
то существует такое
что
La'be(La'bh
V' = La' ъКь.
(16.15)
(16.16) (16.17)
Представляется полезным привлечь терминологию теории групп [553]. Тогда, по определению, введенное подмножество тетрад Ti является классом транзитивности множества T [554] или областью транзитивности подгруппы локальных пространственных поворотов и преобразования инверсии триады [555, с. 67]. Связь между тетрадами внутри класса транзитивности и при переходе из класса в класс, как видно из (13.21), линейна и относительно тетрад, и относительно коэффициентов лоренцева преобразования как некоторых функций координат. Если тетрады известны, это преобразование может быть найдено или из (13.23), или из совместного рассмотрения калибровочных условий. Пусть AifhvJ1') = 0, Bi(h[xn) = 0— два некоторых калибровочных условия. Тогда связывающее их локальное лоренцево преобразование удовлетворяет уравнению Ai[Lk,n(hvJl)Bi ] =0, где Lh'п — искомые коэффициенты, (я/1)Bi— известные тетрады, найденные при калибровочных условиях Bi = 0. Для разыскания Lk'n к последнему уравнению должны быть присоединены еще 10 независимых уравнений из системы Lk'nLr'sr\k'r> = diag (—1, 1, 1, 1). Если найденные преобразования принадлежат подгруппе пространственных поворотов или являются преобразованиями инверсии триады, то оба калибровочных условия приводят к одному и тому же классу транзитивности тетрад. Тетрады могут содержать постоянные, изменение значения которых меняет класс транзитивности.
Свобода выбора ориентации триады еа, а следовательно, и выбора определенных калибровочных условий из множества условий нековариантных относительно подгруппы локальных пространственных поворотов и преобразований инверсии еа не устраняет, вообще говоря, потребности в явном введении триады. Эту свободу остается разумно использовать для введения в данной конкретной задаче физических компонент, наиболее удобных для интерпретации, сравнения с конкретным экспериментом, а также для простоты расчетов.
178 Касаясь анализа координатных условий и их изменения путем координатного преобразования, Эйнштейн писал: «...B совокупности всех подстановок во всяком случае есть те подстановки, которые соответствуют всем относительным движениям (трехмерных) координатных систем» [1, I, с. 459]. Изложенное показывает, что аналогичная ситуация имеет место и в случае калибровочных условий. Принцип общей ковариантности, если его связывать только с изменением координат, имеет формальный характер. Тетрадный метод ОТО, кроме общей ковариантности, вводит локальную (обобщенную) лоренц-ковариантность. В работах Тредера [28, с. 98; 556, 557] предлагается трактовать эту спец-ковариантность как общий принцип относительности, поскольку она является ковариантностью относительно изменения системы отсчета, а «...для понимания общего принципа относительности необходимо делать различие между системой координат {xi} и системой отсчета 2 [28, с. 22]». Однако указанную трактовку во всяком случае следует уточнить в связи с рассмотрением [547, 553] системы отсчета не просто как поля лоренцева базиса, но как этого поля при свободной ориентации триады (как класса транзитивности тетрад [547, с. 6, 7, 11]). Это несколько меняет физическую оценку локальной лоренцевой ковариантности, поскольку ковариантность уравнений движения и эйнштейновых уравнений тяготения относительно локальной лоренцевой подгруппы пространственных (эйлеровых) поворотов, рассмотренную в работах [547, 558—560], нельзя трактовать как ковариантность физическую. Она также является формальной. Эту подгруппу лоренц-ковариантности в тетрадном методе можно выразить и в терминах координатной подгрупповой ковариантности, поскольку данный неполный набор калибровочных условий одновременно генерирует и локальную лоренцеву подгруппу (подмножество) и подгруппу (подмножество) общих координатных преобразований («координатное представление» соответствующего подмножества локальных преобразований Лоренца).
16.7. Вырождение калибровочных условий, их область применимости, калибровочные сингулярности. Равенство числа неизвестных и числа уравнений системы, из которой надлежит их разыскать, вообще говоря, относится к системам линейных уравнений. Обычно проводимый подсчет числа калибровочных условий, присоединяемых к эйнштейновым уравнениям, оставляет в стороне нелинейность последних. Очевидно, нелинейность дифференциальных уравений ОТО (13.8) передается и алгебраической системе уравнений (13.7). Поэтому баланс числа 16 неизвестных обобщенных коэффициентов Ламе и 6 эйнштейновых уравнений, 4 координатных и 6 калибровочных условий следует коррелировать учетом нелинейности эйнштей-
