Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
16.4. «Координатное представление» R-подгруппы и лорен-цево представление Р-подгруппы как следствия неполных наборов калибровок. Согласно (13.25) и (13.26), коэффициенты P- и L-преобразований в принципе совершенно независимы друг от друга, при наложении же условий на тетрады может быть установлена корреляция. Если AjaV и hvn известны (значит, полные наборы калибровок заданы) и если при помощи одного из этих наборов также найдены коэффициенты Lk'п = Am*' Aja71, то (13.25) позволяют однозначно подсчитать есє коэффициенты Р-преобра-зования.
Возможны случаи, когда неполные наборы калибровок позволяют найти те из компонент Ii^ky Av", Lk п, которые только и входят в часть коэффициентов Тогда эта часть становится известной при полной свободе выбора остальной части. Тем самым подмножества (подгруппы) L- и Р-преобразований связываются друг с другом и могут быть найдены одна по другой. В таких случаях будем называть Р-подгруппу представлением L-
175 подгруппы на базе данного неполного набора калибровок и наоборот — L-представлением Р-подгруппы.
Подчеркнем, что если два полных набора калибровок, наложенных соответственно на и Zim,", одинаковы, то Lh п -= К*' h\ = 8*'п. Однако неполные наборы могут быть общими совпадающими по виду и при этом і} пф 8k n за счет оставшейся свободы. Аналогичное замечание относится и к Р-преоб-разованию, согласно (13.26), имеющему свое L-представление.
Следовательно, понятие неполного набора калибровок может объединить рассмотрение соответствующих подгрупп P- и L-преобразований.
16.5. Специальные виды ковариантности уравнений ОТО. Относительно выделенных автономными неполными наборами подгрупп P- и L(х)-преобразований можно определить специальные виды величин-тензоров и более сложных геометрических объектов. Так, например, специальные мировые компо-* *
ненты Qfi =ZifiaQa, SVv = Zin0Ziva инвариантны относительно ^-подгруппы, Q^ = Zifx(O)QW — скаляр относительно этой подгруппы, Qa' = La'bQb — вектор относительно нее. Аналогично по отношению к определенным подгруппам можно переформулировать и дифференциальные операции. Так, специальная
*
частная производная /^-инвариантна.
Из сказанного следует, что уравнения ОТО, ковариантные относительно полных L(x)- и P-групп, содержащих величины с трансформационными свойствами, введенными на полных L- и Р-группах, можно преобразовать к виду, ковариантному только относительно отдельных подгрупп, переписать их относительно величин с трансформационными свойствами, заданными на подгруппах. Будем далее эту более частную ковариантность называть подгрупповой, или специальной ковариантностью. Каждая из форм уравнений может быть хорошо приспособленной для решения некоторого своего круга задач. В качестве примера приведем подгруппу преобразований трехмерных пространственных координат ха'= ха'(х&), выделяя ее из эйнштейновой группы. Эта подгруппа непринужденно выделяется в ОТО при изучении статического поля и ее использование влечет за собой реконструкцию уравнений ОТО — выделение в них трехмерных величин. В этом случае естественно применить формализм трехмерного тензорного анализа и соответственно записать уравнения гравитационного поля. Это было сделано в работе Леви-Чивита. Фок обобщает построение Леви-Чивита на конформные пространства, также выделяя трехмерные величины в эйнштейновых уравнениях тяготения и в их решениях. Конечно, ограничение менее общей группой преобразований не упростит формализма [550, с. 214], 176 но, как уже отмечено, может хорошо приспособить его к решению некоторого круга задач. В главе V остановимся на этом подробнее и рассмотрим реконструкции основных уравнений ОТО для нескольких подгрупп преобразований.
16.6. Разделение калибровочных условий на референцион-ные (физические) и нефизические. Класс транзитивности тетрад. Требование в ОТО локальной справедливости СТО предполагает постулат локальной изотропии 3-подпространства, а тем самым постулат о равноправии по-разному ориентированных в этом 3-подпространстве эталонов длины, декартовой триады. Иллюстрируем такую точку зрения на триаду следующим замечанием Дирака. Допуская свободу выбора триады и говоря об изменениях, соответствующих ее вращению, он подчеркивает; «...Мы оставляем произвольным выбор триады, ...мы знаем, что такое изменение не влияет на физическое состояние» [551, с. 197].
Принятие в ОТО такого постулата вносит неравноправие в калибровочные условия, наталкивает на разделение их на части — физическую часть калибровочных условий и нефизическую. Физическая часть — три условия, ковариантные относительно локальной подгруппы пространственных поворотов триады (^-подгруппы) и относительно преобразований ее инверсии. Нефизическая часть — три остальных калибровочных условия, нековариантные относительно этих двух видов преобразований, аналогично тому как координатные условия не-ковариантны относительно общих преобразований координат.
Возникает потребность во введении наряду с понятием «калибровочные условия» и более общего понятия, отражающего указанное разделение, фиксирующего поле е^ с учетом свободы ориентации триады. По аналогии с термином «координатные условия» введем термин «референционные условия» для трех калибровочных условий, ковариантных относительно локальной подгруппы пространственных поворотов и преобразований инверсии триады, дополненных множеством равноправных троек калибровочных условий, нековариантных относительно этих двух видов преобразований.
