Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
4(2)(2) = 1 = CixClli 4(з)(з) = 1 =DixDil.
Тогда формулы (18.3) примут вид широко известных уравнений, обобщающих трехмерные формулы Френе — Серре:
= ы*4. (18.5)
=CC11 +ЬА», (18.6)
= dlT- Cflli, (18.7)
(18.8)
Структура этой системы уравнений такова, что позволяет выделить автономную ключевую подсистему (18.5), из которой находятся все компоненты B^ без привлечения остальных уравнений системы. Тогда становится автономной подсистема (18.6), а затем (18.7).
18.3. Полный набор «калибровок Ферми — Уолкера». Перепишем формулу (18.1) в виде
"Г" = W®™'"' h^' = A*' h\'«r'n' h\. =
OS
= hvk' [a'b' h\a> AVj + 2co(0)'a' h\i0y AV] ], (18.9)
где штрихи у индексов указывают, что в этом пункте рассматривается лоренцев базис в целом иной, чем в предыдущем пункте.
Следуя Ферми — Уолкеру, но привлекая лоренцевы индексы и понятия тетрадной формулировки ОТО, примем три калибровочных условия 196 COa'*' = 0, (18.10)
запрещающих пространственный поворот триады еа при перемещении вдоль мировой линии. Тогда формула (18.9) упрощается:
AfcV =2Avft'©(0)'a'Alit(O)-AVj • (18.11)
OS
Здесь компонента со(0) (1) = Ъ' фЪ не является первой кривизной и поэтому неизвестна. Дополним набор (18.10) еще тремя условиями, положив
h\,y = Л% = Л14 = (18.12)
и выразим в уравнениях (18.11) компоненты AV через компоненты Zivc, введенные в предыдущем пункте и испытывающие перенос Френе — Серре. Учитывая также (18.2а), приводим (18.11) к виду
A h\ = Zivv С0(0)а' Ьа'С(ЬР(0) h\ -h\ /lV(0) ) =
б S
= h*k>v{0)e(A» h\ - Av/і>\) = bhvw (A11Bv - AvB%
(18.13)
т.е. приходим к переносу лоренцева базиса по Ферми—Уолкеру [19,1, с. 216; 530]*). При k' = (O)' = (0) из системы уравнений (18.13) выделяется подсистема (18.5). При k' = а', поскольку в силу условий (18.2) hvaf Av = г)а'(0)' =0, оставшиеся уравнения (18.13) можно записать в виде
^L = bh^ A11Bv.
OS
Следовательно, лоренцева триада при калибровке Ферми — Уолкера испытывает перенос Ферми [530]. При калибровочных условиях
Zili(O)= b = c = d = 0 (18.14)
лоренцев базис подвергается параллельному переносу. В этом случае соотношения (18.1) принимают вид
*> Его рассмотрение в связи с калибровкой лоренцева базиса дано Краузе («Int. J. of Phys.», 1975, 12, 35) и в связи с теорией инерциальной навигации Л. И. Седовым («ДАН СССР», 1976, 231, 1311).
197. Перейдем к вариантам калибровок сопутствия, когда мировая линия задается дифференциальными уравнениями движения, решениями которых являются х\ Они — функции координат и постоянных интегрирования (первых интегралов движения).
18.4. Две алгебраические формы неполного набора калибровки сопутствия. Локальные компоненты трехмерной скорости связаны с мировыми ее компонентами: dxa/dx^0) = h^dxv- IhJ^dxv.
В системе, сопутствующей частице, dxa=0. Тогда (ds2)dxa =0 == = (d*<°>)2. Отсюда следует
V-Ш =V-^r = 0, (18.15)
а также
hahdxk \ - / dxа \ dxa -а
* =Aa(O)=I-I =— " *
ds Jdxa=O V ds Jdxci=O dxW
(18.16)
(Xа — три независимые компоненты из четырех компонент X^). Следовательно, калибровку сопутствия можно представить или в виде трех уравнений (18.15) относительно компонент Iiya (компонент триады) или в виде трех уравнений (18Л6), приравнивающих три компоненты хроно-монады /ia(0> соответствующим компонентам скорости, найденной из уравнений движения.
Укажем на связь калибровки сопутствия с вопросом о существовании первых интегралов х^ с уравнением тяготения Эйнштейна, с нелокальностью алгебраических уравнений (13.5). Действительно, нелинейность уравнений поля тяготения ведет в ряде случаев к уравнениям движения. Так, уравнения геодезической линии являются условиями интегрируемости уравнений поля. Под нелокальным характером калибровки сопутствия понимается зависимость тетрад ЛД найденных с участием (18.15) или (18.16), от постоянных интегрирования уравнений движения, содержащихся в хЭти постоянные при фиксированном поле тяготения зависят от начальных и граничных условий и определяют класс калибровки сопутствия. На конкретной зависимости калибровки и тетрад от постоянных интегрирования специально остановимся далее.
Таким образом, калибровка сопутствия в форме (18.16) является автономным неполным набором и представляет собой конечные выражения компонент хроно-монады, заданные с точностью до калибровочных постоянных. К форме (18.15) калибровки сопутствия следует прибегать для разыскания
198. компонент сопутствующей триады. Системы (13.5) или (13.8) сначала могут быть разрешены вовсе без калибровочных условий. Тогда в HlXk войдут произвольные функции. После этого калибровка сопутствия может быть использована для разыскания произвольных функций. Иллюстрируем это на конкретном примере в следующем пункте.
Если принять координатные условия в виде Xa=0, то калибровка сопутствия вырождается в неполный набор калибровок Ламе. Действительно, тогда условия (18.15) и (18.16) соответственно принимают вид
V = O, /1а(о) = 0. (18.17)
В форме (18.16) калибровка сопутствия Я-скалярна, в форме (18.15) /?-инвариантна относительно локальной подгруппы пространственных поворотов и преобразования инверсии триады. Определяя «референционные условия», она должна быть нековариантной относительно преобразований системы отсчета, т. е. преобразований, содержащих гиперболические повороты. Действительно, поскольку
