Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Иваницкая О.С. -> "Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения" -> 76

Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.

Иваницкая О.С. Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения — Наука и техника, 1979. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): lorencbazisigrav1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 126 >> Следующая


V^) = + tfvlSr (18Л8>

и если La (о) = 0, то отсюда следует, что h^'dx^/dxW =0 и что hp" и IilXa' принадлежат одному классу транзитивности.

Ковариантность относительно общих координатных преобразований присуща условиям (18.15) по определению. Ковариантность же частного случая калибровки сопутствия (18.17) имеет место лишь относительно подгруппы координатных преобразований. Действительно, условия вида (18.17) (из них независимы три)

ha\о) = Pa\h\о = Pa\h\0) + Pa>(0) = 0,

Iiofa = Po 'V = pO " Ka + Po >°hoa = о

сохранятся лишь в случае таких координатных преобразований, когда Pa о = 0. Эго так называемые хронометрические преобразования. Они, в частности, содержатся в соотношениях (17.73), (17.74) (см. (17.73) при v' = a', (Ji1' = 0). На этой подгруппе подробнее остановимся в главе V.

18.5. Тетрады, сопутствующие пробным телам в поле Шварцшильда. Применение калибровки сопутствия к разысканию произвольных функций. Следуя [546, 547], иллюстрируем различные варианты использования калибровки сопутствия, ограничившись для простоты разысканием тетрад, сопутствующих пробным телам при их плоском движении в по-

199. ле Шварцшильда. Тогда система уравнений (13.5), запишем ее в стандартной системе координат, состоит из шести независимых уравнений относительно 9 неизвестных компонент тетрад:

Vftvn4fcn = diag(-l/a, a, г2,), (і, v = 0, 1, 3, (18.19)

где a=(l—2m/r)~~~l/2. Для разыскания всех 9 компонент

требуется присоединение к этой системе полного набора из трех (невырожденных) калибровочных условий.

Решения уравнений движения пробных тел (геодезической линии) в поле (18.19) в стандартной системе координат имеют ,вид

dr/ds = Afay dyfds = hfr2, dx°/ds = ea2,

(18.20)

А = (a2e2 — 1 — Zi2Zr2)1 /2,

где А и е — соответственно постоянная площадей и энергетическая постоянная (калибровочные постоянные). Поскольку ХцХ^= — 1, лишь две из компонент (18.20) независимы, а калибровка сопутствия в рассматриваемом плоском случае содержит лишь два независимых уравнения.

Используя калибровку (18.16) и выражения (18.20), находим компоненты хроно-монады

A0(O) = 8f Zll(O) = — аЛ, А3(°) = — А. (18.21)

Компоненты триады также можно получить использованием калибровки сопутствия, но в виде (18.15). В рассматриваемом случае

A1(I)-4-+й,(О -^L = -AeO

as as as

(18.22)

ZllO) + vз) ЛL = _ ,,„<3) _*UL .

ds ds ds

На долю нефизической части калибровки приходится еще одно условие. В зависимости от его выбора искомые компоненты IilXk будут иметь разный вид. Пусть, например, нефизическим калибровочным условием будет требование Ламе

A31} = 0. (18.23)

Из уравнений (18.22), (18.23) и соответствующей части системы (18.19) находим ___

/ 8 ArfaVh*+? — eh/Vh*+r2\ hiik==laA_ a4riVh*+r2 yhA/Vh2+r2 , (18.24) \-A 0 / ]/A2+r2 /

200. тогда как из систем (18.19), (18.22) и условия

AcO0 = O, (18.25)

взятого вместо калибровки (18.23), получаем другой вариант

тетрадных компонент:

( A0(O) = е

Hk =

П\Х -

А0(*> =0 Aa

Zlo(S) = _ а а

A1(O) =_ a A IiiW =

гВ

A3(O) = -A A3^ = — г-

Я

A1W = AeW =

Ла2в ?

Аае 5

(18.26)

? = ± uzvjc, где V31 — локальная скорость.

Наконец, рассмотрим вариант разыскания тетрад с точностью до произвольных функций и определение этих функций применением калибровки сопутствия.

Решим сначала систему (18.19) при калибровочном условии (19.23) с точностью до двух произвольных функций. Введем их так, чтобы

A1(I) = CrA1W, A3W = ЯАз(0). (18.27)

Тогда из уравнений (18.19), (18.23) и (18.27) имеем [546]

_Хо_ (А,2 — 1)1/2 _<7_

а[(*,2-1) (1+а2—а,2)]1/2 а[1+а2-Я,2]1/2 а[Я,2-1)(1+а2—Я,2)]1 /2 аХ а о а

(1 +а 2_А,2) г

1/2

(^2 - 1)

/2

(1+СТ2_Я2)1/2 0

(1+а2_^2)1/2 Xr

(^2-I)

1/2

(18.28)

Воспользуемся калибровкой сопутствия для разыскания произвольных функций % и а. Подставляя соответствующие компоненты из матрицы (18.28) в уравнения (18.22), найдем

і

are

±1 1+ "ST' a==f^ne-l = ±

A2 / Л ЛА

Следовательно,

(18.29)

(А (1) = уЫ Jh. =о

201. Ze + A

+ 8 t aV Г2 + Zi2

+ - - a 2re —аЛ -)-

A

-K r2 + A2 O

+ +



(18.30)

Как видно из рассмотренного, нелинейность системы (18.19) проявляется в данном случае в наличии квадратных корней из некоторых выражений, что приводит к вариантам тетрад, отличающимся преобразованием инверсии. Так, например, переход от тетрад (18.30) с нижними знаками к тетрадам (18.30) с верхними знаками осуществляется преобразованием инверсии вида Phn= diag (—1, 1, —1).

Примем теперь вместо (18.23) условие (18.25), а произвольные функции введем так, чтобы

Zt1(I) = OhlW, А0(3) = Wt0(0). (18.31)

Тогда вместо тетрад (18.28) получим

Auft =

1 п %
а)/1 — Я2 U <х\ 1— Я2
rKa асг а
(1 + а2 — Я2)1 /2 (1+а2- Я») >/8 (і+а2_ху/а
Xor -гУ I- — Я2 га
[(1-Я2) (1-f а2—А,2)]1/2 (1+0«- Я3)1/2 [(1— Я2) (1+ а3— X3)]1 /2j

Использовав выражения (18.22) и (18.20), найдем

В



а = ±

Zi

осе ае ' Aars,

Подставляя эти функции в тетрады (18.32), получаем
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 126 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed