Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Sw = KtwKm + KaKa- (19.2)
В ней содержится уравнение при v = |jii, принимающее при учете калибровки (19.1) вид
^ = АЛ(0) + АЛ,.= = = w + cw- (19-3)
Из этого, одного, уравнения в случае вещественных тетрад находим три компоненты h k:
M-I
А (і) = л (і) = A (3) = 0, (19.4)
M-I M-I M-I 47
принадлежащие трем разным векторам лоренцева базиса. Учет равенства (19.4) превращает подсистему (19.1) в автономную, из которой находим
K(O)= (19.5)
Таким образом, одно калибровочное условие (19.1) и четыре уравнения (19.2) позволяют найти (в случае вещественных тетрад) шесть независимых компонент Zi^fe — все компоненты лоренцева вектора е«» и попутно (Ii-компоненты триады.
19.3. Хоро-монадные калибровки. Примем два следующих калибровочных условия:
205. V1 = K^iW,) 1,/2' = (I0-6)
Подстановка первого условия калибровки (19.6) в уравнение системы (14.5), содержащее ^iji ^ . Дает
AliW = Of (19.7)
а подстановка второго с учетом равенства (19.7) позволяет получить (для вещественных тетрад)
vt = vj = 0- (19-8)
Тогда три остальных уравнения из системы (14.5), содержащих
Sat«,• Oc1Gt0' ИМЄЮТ РЄШЄНИЯ
vі в ^== • v' = Tr^ • ^0'= • (19-9)
Таким образом, из двух калибровочных условий (19.6) и четырех уравнений из системы (13.5) находятся 6 неизвестных компонент из ЛД но среди них все компоненты только одного из векторов лоренцева базиса — монады efljs, остальные же дают лишь по одной ^-компоненте остальных векторов базиса. Поэтому два калибровочных условия (19.6) являются монадной калибровкой.
19.4. Xopo-, хроно-диадные калибровки. Примем
V0) = (-W V1 - t(W(0Д (19-1°)
т. е. дополним калибровку (19.1) еще одним условием. Первое из условий позволило найти равенства (19.4) и (19.5). Присоединяя второе из условий (19.10) к уравнению системы (13.5), содержащему g?a?a, находим
h a> = h аа == 0. (19.11)
М»2 М-2 Х
Тогда решениями уравнений системы (13.5), содержащими g и g и дополненными вторым из условий (19.10), будут компоненты
h A1 ^M.«iu(Q) I1 A1 = ^Wq)(Q) /J9 J2)
" ZfewJ(O)' Zfe^o,'
Следовательно, условия (19.10) являются диадными. Они позволяют найти все компоненты е(0) и efljs, но, кроме них, находятся также компоненты (19.4) и (19.11). В работе [574] рассмотрены и другие варианты хоро-, хроно-диадных калибровок.
19.5. Xopo-диадные калибровки. Пусть приняты четыре калибровочных условия:
206.
= itewi. Wi172' ^ = Itol4il4i )(fl,)]1/2.
(19.13)
Эти условия выделяют из (13.5) подсистемы уравнений, содержащие
^HtHa' &И1И3' ^?lHi' ^Il1Il.* ^Wo'
из которых последовательно находятся такие компоненты:
vo) =v=о=о, о=,
Ї, fl. __H« U а* — h а* — ^
vT" " KF^ "
r ьМ-iHi r sIiiIif r sIiiIii
v<0) - о=о, Ац,°*=K^4 j(a>).
Ua*- to|Aa|A,)(g,) * A2 __ to|Aa|A0)(g,) Гі|1» ~ т /-, -т- » rtIlo —
(19.14)
^tonaJ(Aa)
Следовательно, четыре условия системы (19.13) остаются диад-ными, так как позволяют найти все компоненты только двух векторов лоренцева базиса — efljs и eflf. Кроме них, находятся по две компоненты (A1 и |i2 двух остальных векторов тетрады. В работе [574] рассмотрены и другие варианты хоро-диадных условий.
19.6. Вырожденные полные наборы. Добавим к двум условиям (19.10) еще одно вида
О = Itetlali,)<0 .а,)11/2- (19-15)
Присоединив три калибровочных условия, еще не использованных в п. 19.3, к уравнениям (13.5), получим недостающие компоненты лоренцева базиса. В результате решения
и (o) _____^vilii и fli— (^m1j(q)
% — - =, %--777 ч — »
У —«mm ^toneJ(O)
А е. _ to|A J(QtA1) ^a1 __ top,p,0)(Q ,A1Aa) У ton, J(ofa1) ^toneJ(ofa1a3)
(19.16)
Следовательно, набор калибровок систем (19.10) и (19.15) является полным, позволяет найти все компоненты лоренцева
207. базиса. Он также вырожден, поскольку содержит не 6, а только 3 калибровочных условия. В работе [574] приведены еще 3 варианта полных вырожденных наборов.
19.7. Сравнение класса х.и.-подобных калибровок с классом Ламе. Как видно из изложенного, оба класса позволяют выделять из системы (14.5) автономные подсистемы. В обоих классах вся совокупность задаваемых и находимых компонент H^h — нули или х.и.-подобные выражения. Для любой калибровки Ламе существует дополнительная х.и-подобная, которая приводит к той же совокупности известных компонент АД что и соответствующая калибровка Ламе. Разница заключается лишь в том, что в первом случае часть АД равных нулю, задается наперед калибровочными условиями, а во втором компоненты, равные нулю, находятся из системы (14.5). Можно, однако, ввести х.и.-подобные калибровки и не являющиеся дополнительными к наборам Ламе. Эти калибровки позволяют находить добавочные по сравнению с калибровками Ламе компоненты АД Так, добавляя к калибровке (19.6) условие
найдем добавочно коэффициент h^*1. Кроме того, найдем, что имеет место равенство A11 (0) = ±h^z .
Другим отличительным свойством рассмотренных калибровок при условии вещественности компонент HlXk является возможность существования вырожденных наборов. Это приводит, в частности, к полным наборам с числом условий менее шести. Существование вырожденных калибровок показывает, что число калибровочных условий, доопределяющих лоренцев базис или его отдельные векторы, не обязательно равно числу параметров группы или подгруппы Лоренца.
