Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Приведенные примеры полных наборов калибровок Ламе показывают, что в классе калибровочных условий Ламе, в частности, имеются автономные неполные наборы калибровок Ламе. Они замечательны тем, что позволяют не доводить решение уравнений (13.5) или (17.36) до конца, а найти ориентацию только одного или только двух векторов лоренцева базиса (одну или две квазикоординаты dxn) и, когда этого достаточно, позволяют на этом остановиться.
17.10. Неполные монадные наборы калибровок Ламе. Рассмотрим их независимо от полных наборов калибровок Ламе. Анализируя систему (13.5) с точки зрения разыскания ее несингулярных решений, легко заметить следующее. Обращением В нуль Трех членов (ХгСТрОКИ (кроме члена ZzjLLi ll), т. Є-введением трех калибровок Ламе
Alii-= 0, S Ф Z1, (17.48)
из системы (13.5) отделяется автономная подсистема
gnu = KhKrh = ± Ki1HlllIi. (17.49)
Здесь и далее индексы р,ь Zi произвольны, но фиксированы, поэтому суммация по 1\ не производится. Знаки ± в уравнениях (17.49) соответственно относятся к случаям 1\ = а\у h= (0).
Из подсистемы (17.49) получаем
O= -/===- , dx1* = ^dxV , (17.50)
V ± ^w1 V ± gniui
что позволяет найти одну из квазикоординат локального мира Минковского. Если этого достаточно для изучения некоторого
*> ovaa(ovaoocr) —диада, число два.
190. вопроса, дальнейшее решение системы (13.5) можно приостановить.
Монадный набор, обратный рассмотренному, вытекает из системы (17.34) и условий (17.48):
Kxnh\ = /^1WivZ1 = Svmi = 0, vф^iІУ V1^Of (17.51)
Ktlx = 0, V^iii. (17.52)
Запишем в общем виде монадный набор, взаимный набору калибровок (17.48):
= 0, S Ф Z1. (17.53)
Он выделяет из системы (17.36) автономную подсистему, сходную с (17.49):
= Vh hfbh = ± hviih»*ii9 (17.54)
которая имеет следующее решение:
= . (17-55)
17.11. Неполные диадные наборы калибровок Ламе. В тех
случаях, когда требуется одновременное знание двух квазикоординат, решение системы (13.5) нужно продолжить. Легко заметить, что расширением неполного набора калибровок (17.48) за счет добавления к нему подчиненного неполного набора вида
V = 0, 1,Ф гф1ъ Ii^iil (17.56)
получаем возможность выделить из системы (13.5) расширенную автономную подсистему, состоящую из уравнений (17.49) и уравнений
= gy»> — KhKth = KhKh- (17.57)
Отсюда с помощью компонент (17.50) находим
hh = (gy,)''- у (17 58)
У ± (gtX2fJL2 )/t
что позволяет разыскать вторую из квазикоординат, dxhy в дополнение к квазикоординате dxl\ уже найденной при помощи исходного автономного набора.
В отличие от (17.50) в соотношениях (17.58) в общем случае не равны нулю лишь три коэффициента Ламе, когда v^jjii, что обеспечивает совместность выражений (17.58) с (17.48). Действительно, в силу условий (17.48)
= KisKs = о, h^ = 0. (17.59)
191. Поскольку
Є/, = AVu, e/2 = /i\e,> h Ф1ъ (17.60)
найденные компоненты коэффициентов Ламе (17.50) и (17.58) определяют ориентацию двух векторов лоренцева базиса относительно избранной системы координат.
Анализируя систему (17.36), видим, что добавление к взаимному автономному набору (17.53) подчиненного неполного набора
Alier==OfIia^=Ii1, Ііфгф12 (17.61)
позволяет выделить следующую расширенную подсистему
gWi = HvllHlllli - ± AvZ1ZiX (17.62)
(^O(Z1) -Sfvii- - AvZ1Alif'1= ± /IvZ2 A1V (17.63)
которая имеет решение:
«-- , у,.- <*"">'¦ , (17.64)
g^1 Ki(^2)(Z1)
причем аналогично (17.59)
IiixiI2 = 0, (^')/, = 0. (17.65)
Таким образом, диадные неполные наборы калибровок Ламе с помощью двух подсистем, образующих вместе расширенную автономную подсистему, позволяют найти компоненты одного из векторов лоренцева базиса в виде функций компонент метрического тензора 4-пространства ОТО, другого — в виде тех же функций, но уже от усеченных метрических тензоров.
17.12. Генерирование подмножеств L(^-преобразований требованием ковариантности монадных наборов. Выясним в общем виде, какие ограничения накладывает на коэффициенты локального лоренцева преобразования требование ковариантности совокупности монадных калибровок (17.48) и (17.52):
(VX1S = 0, (VX1. = 0, S Ф Iiy Sf Ф Ii',
(17.66)
(AvOsliie = Of (AV)3^s = O, V=^Ji1. Из (13.26) и (17.66) приходим к заключению, что
L^A/' AtZ1 = V + К*' AxZ1 - 0. (17.67)
Требования (17.66) не накладывают ограничений на другие коэффициенты локального лоренцева преобразования. Од-
192. яако из определения этих преобразований имеем дополнительно:
= LsV^W'''+ ^'Vn" = О,
(17.68)
л VV = Llt' mLtl' nr\mn = ц1'1'
откуда в силу произвольности коэффициентов вида Ls's и соотношений (17.67) получаем
!'''. = 0, LS1=I- (17.69)
Отсюда вытекает, что подмножество локальных лоренцевых преобразований, выделенное требованием ковариантности калибровки (17.66), оставляет инвариантными компоненты коэффициентов Ламе, содержащие индекс Л:
Av'*' = L^sV = К'1- (17-70)
Требуя локальной лоренц-ковариантности монадных калибровок Ламе (17.65), взаимных условиям (17.48):
ЛЬ*, = 0, (A1V)814 = O. (Avv)34 = O, (17.71)
