Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Pn(O)(O) = A^(O) Aa(O)Piaa = TVPi1^SPiim
и др. Эти величины не имеют индекса, который мог бы быть подвергнут нетождественному преобразованию из 7?-группы *). Такие индексы имеют ^-инварианты, но они образуют свертки, например:
Vnv — VftVa = ?nv — V0)Av(0) = (tfnv)(0) (20.3)
(/^-инвариантный метрический тензор), или
P = PaPa = VAvaPliv = (ftiv)«>) P^ - /5,
(20.4)
Pvl = KaPa = KaKaPv = (STnv)(O) Pv = Л* •
Приведенные примеры показывают, что ^-инварианты весьма разнообразны по своей локальной структуре, по своим трансформационным размерностям относительно локальных преобразований Лоренца, содержащих гиперболические повороты. Поэтому весьма разнообразны и законы их преобразования, например [586]:
Kw 5st^ = L(0)'kKk =
= l(0)'<°> (Ki0) -VawKa) = (t11-
(20.5)
(SW)(O)' = (ftxv)«» + (I- ?2)-1 (?V0) ftv(0) + ^(O)uv(O) -
- 2А(|І<0)<М«>)), Lioya = - VaiO)Ao)'(0),
где Ад(о) и Ajjt(O)'—решения тетрадного уравнения Эйнштейна при разных калибровках тетрад. Аналогично
P* = Kwpix = Li0ykKkp»y p.*'= VP0' =
= teuv)(o)'Pv, A= PflV = (Ы(ОГР^. (20.6)
Следовательно, упрощая запись отбрасыванием лоренцевых индексов, нужно соблюдать осторожность, иметь их в ви-
*) Замена индекса (0) звездочками производится согласно работе [572].
213. ду на случай возможного преобразования /^-инвариантов относительно произвольного локального лоренцева преобразования.
Относительно /^-подгруппы могут быть введены и геометрические объекты с более сложным законом преобразования, чем тензоры. Среди коэффициентов вращения Риччи имеются следующие/?-тензоры [543] (см. (15.27)):
Fa == V(O)A(O), Aab = у(O)IabI, Dab = —у(0){аЬ) (20.7)
и геометрические /^-объекты с трансформационными свойствами коэффициентов связности
Aflbc = Yflbc, Aflb = Yflb(o). (20.8)
Детальнее:
F* = haby(%( о), (20.9)
= h[a°h^)ab = VA?] . (20.10) A0W= AaaVVYflbc + ^AV- (20.11)
20.2. /^-инвариантные производные. Введем /^-скалярную частную производную
3(0)^?. (20.12)
Она, естественно, не инвариантна относительно 6-параметриче-ского L(x):
0(0)' = L( 0)'kdk = L(0)'(0)o(0) + L(0)<ada =
= LiQym11iQ1Plk+ LioyWbOll. (20.13)
^-инвариантная частная производная образуется усечением суммации:
S14 = HvTda = VAxA = (ftix)<oA = 3» - V0)9(0) =
= S14-V0^v(O)Sv. (20.14)
*
Производные 5(0) и 3^ соотношениями (20.12) и (20.14) определяются для общего случая, т. е. для всех возможных случаев
калибровочных условий. При разных калибровочных условиях
*
компоненты V» A11(O) будут различными. Поэтому 3<о) и дц зависят от выбора калибровочных условий.
Объекты (20.8) могут быть использованы для введения пространственной и временной Я-ковариантных производных:
VeOb;::. ^djtv;.. + AWfc -MtcaQb*;.., (20.15) V(o)Qbc.'.. 2=3(0)Qbc... + Ab(fydc.\. — kdcQbd;..
214. (производная yA без тильды берется не относительно Afl^c, з относительно ykmn). В частности,
VacP = 0аф = h\ , V(O)cP = 0(0)Ф =7 A14(O) -^г , (20.16)
где ф — общековариантный скаляр или Я-скаляр. Запишем выражения (20.15) и (20.16) применительно к Я-вектору Ta и ^скаляру Г(0) в виде двух следующих соотношений:
VfeTfl^ dkT*+y\kT\ (20.17)
^r(0)sofer(0)+Y(0)(o)fer(0)=ofer(0). (20.18)
Возможны два варианта их перелицовки. В работе [584] введен вариант усеченной перелицовки:
HvaKbIitC... VaQV.:.=wQV:.,
(20.19)
K0Iib... V(O)Q6-;::. =ViQvIi::..
Тогда
*
ApVlX = {^1 + YPTV0)dv]/iT<0)-Ут(Л)<°>їрЧ>/гт<0), *
( P \ = і. Ypa (ovYjAa + ^Yva_ )f (20.20) I V(Aj 2
Apv = Dpv — Jlpv — YpG^vA0(O).
В работе [585] введен другой вариант перелицовки посредством выражений (20.17), (20.18) (полной перелицовки):
(20.21)
где ykTn определены согласно правилам (20.17), (20.18), т. е. согласно уравнениям (20.15) и (20.16). JJto порождает еще одну специальную ^связность, обозначим ее ГД :
V^v= dir + r^TSssE Kkh\^kT\ (20.22)
На этом остановимся подробно в § 23.
20.3« Перестановочные соотношения с jR-ковариантными производными. /^-представление тензора Римана — Кристоффеля.
Введем для них и для произвольного Я-вектора Bk(BW)=ф, Bc) перестановочные соотношения [584]:
2VtaV(O)1cP = pAoW + (Ааь + Dab) дьФ,
215. VtaVft1fP = ЛаїДо)Ф. 2VtaV(O)Ifi6 = FaV(0)?6+ (Аа + Da) V?"+ RbCa(O)Bc, (20.23)
2VtaVft1Sc= 2A,bV(0)?C+ frdabB" ¦
Учитывая (20.23), сгруппируем 20 независимых компонент тензора Римана — Кристоффеля следующим образом, выражая их через Я-тензоры Fa, Abc, Dbc и их производные [543, 558]:
RabC = RabC(O) = Rabc(O) ~ Fa (Abc - Dbc) - Fb (Aac - DJ, (20.24)
RabCd -Rabcd + (Аас~ AJ (Аы~ Dbd) - (Aad- Dad) X
X (K-Dbc), (20.25)
Ra(O)b(O) = V(O) (Ааь ~ DJ — Vb^a + FaFb ~ (Аа~ DJ X
X(Acb-Dcb), (20.26)
R(0)abc = Vb (Аас DJ - vc (Aab-Dab) - 2FaAbc. (20.27)
Соотношения (20.24) — (20.27) позволяют переписать относительно тензоров известные тождества, которым удовлетворяет тензор Римана — Кристоффеля [584]:
Zabc(O) = Va (Abc + Dbc) - щ(Aac + DJ + Fa (Abc - DJ --Fb(Aac-DJ + 2FcAab,
RalbCdi = — 2DalbAm, (20.28)
