Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
V(o Дь + VtZft] - 2 (KcDcb- KcDJ = 0,
VtA] +V1*:і = 0' f-
20.4. і?-ковариантное представление уравнений ОТО. Уравнения ОТО в тетрадном представлении записываются в виде, ковариантном относительно произвольных локальных преобразований Лоренца:
ЬхЧЬх =Jck+ ykabXaXb + yk(0)bX{0)Xb+ ykb(0)'x{0)xb +
+ YWo)(*<°>)2 = 0, n (20.29) Rkn - 27\5й5шп=-х --T- r,*» j (20.30)
(для простоты ограничимся уравнениями движения свободной пробной частицы). Уравнения (1.1) и (20.30) связаны простым преобразованием, учитывающим, что Rmn = hKmR%n-
216 Выделяя в системах (20.29), (20.30) /^-объекты и 7?-кова-риантные производные, приведем их к виду, ковариантному лишь относительно подгруппы локальных пространственных поворотов [559, 584]. Начнем с изотропной геодезической линии:
8km/8K = dkm!d\ + ymr8krks = Oy kr = AxrIdX,
(20.31)
k^= kmkm= 0, k{0) = со = dx^/dk, ocn =
= dxn/dx(°) = kn/(o,
X — канонический параметр. Используя (20.7) и отбрасывая индекс (0), легко придать уравнениям (20.31) следующую /?-ковариантную форму:
dco
со
^y + Dabaaab FcOLc=0,
(20.32)
-L -^y (coab) + (АаЪ + Dab) a*- Fb= 0,
где
O dxa
~dx^> (oXXb) = "OTT VaWiV(O)W- (20.33)
Определив трехмерный импульс и энергию частицы по правилам локально справедливой СТО (для простоты с=1)> т. е. приняв
Pa= m0dxaldT=mdxa/dx(°)=mva1 m=E=mjV1—^2, (20.34)
легко можно переписать уравнения временно-подобной геодезической линии (20.29) в 7?-ковариантном виде:
^r = TiFa + (Aab-Dab) Рь,
(20.35)
І U7 = ^-W-
Закон сохранения ОТО, SlhTnk= 0» также можно переписать в #-ковариантной форме:
а(о)Р +pD+ DabUab+ уCJC- 2FcJc = 0,
Vf0/"+ (Аа+ Da") Ja+ DJь+ (Vc-Fc) Ucft-Pf = 0, (20.36)
J-(O)(O)^p Tai0) = Ja Tab=Uab.
217. Наконец, используя выражения (20.24) и (20.25), приходим к і?-ковариантному представлению эйнштейновых уравнений тяготения [543, 584]:
Rab+ (Aab- Dab) D - v(0) (Aab - Dab) + VbFa- FaFb =
= Uob- у Ч«ъ (и- Р)1 , (20.37)
daD - Vb (Аь- Dba) - 2FbAab = nJa, (20.38)
ді0)D - у/0+ FaF-+ AabAab- DabDab=--(и+ p). (20.39)
В метрической формулировке, конечно, тоже можно раскрыть суммацию в Rixv, выделив коэффициенты связности, т. е. TflV . Однако в системе (20.37) — (20.39) выделяются именно /^-тензорные компоненты коэффициентов связности, характеризующие перенос лоренцева базиса, что полезно для физической интерпретации.
20.5. Подгруппы координатных преобразований с R-инвариантными коэффициентами. Принцип общей ковариантности допускает произвольное преобразование базисных векторов еь' =Рь'^ii (совместное с эйнштейновыми уравнениями тяготения). Это, в частности, позволяет составлять новые базисы путем комбинирования базисных векторов ел, оказавшихся в предыдущих исследованиях удобными или интересными по физическим соображениям.
Отправимся от лоренцева базиса ет, т. е. нормированного на единицу, лежащего в основе тетрадной формулировки ОТО. Следуя работе [585], свяжем его с произвольным базисом ея и произведем (3+1)-расщепление:
ex = Vea+Ax(0)e(0).
Из этих двух членов, взятых по отдельности, составим новый координатный базис:
/ е0 = /іо(0)е(о) - /іо(0)А°(0)Єо + А4(0>А*<о)еэ, (20.40)
1N ea . Vea - VA°ae0 + A«Wbep • (20.41)
Найдем координатное преобразование, переводящее базис е*, в 8?,: n /eo = tfo°e0 + tfoaea, (20.42)
S1X = Rifcb'
4Sa = ЯЛ+ Я JV (20.43)
Сравнивая соответственно приведенные соотношения, находим 218 tf Л = (R O0=Vw(O) W = V0W(O)
Ua0= - W0W(O) Itfaf5 = Oa? - Zla(O)ZlP(O) Я,»= l-y/i»0 Itf0P = -VZiPt
tfa0= Zia6Zi06 ItfaP=ZiaftZiPb
(20.44)
Выделим два взаимно-дуальных преобразования из множества координатных преобразований с tf-скалярными коэффициентами. Пусть задан неполный набор калибровок Ламе вида (16.6), т. е.
Zi0" = 0. (20.45)
Он tf-инвариантен, автономен, т. е., будучи присоединен к системе уравнений (13.5), выделяет из нее автономную подсистему, из которой находятся все компоненты Zi,/0) (см. § 17):
(у)а0«=о =
^Zi0(Q) = V- goo |V=0N
Zla(0) = -TT==="
У — goo
Zi b
(20.46)
Из (20.46) и соотношений Ziiyi,/1 = 6ft" получаем обратные тетрады
( h°(0) = -F=^= h\
Wftn-O = ----V.....
Zia,
'(o)
0 I h\
(20.47)
Подставляя компоненты (20.45) — (20.47) в коэффициенты (20.44), находим координатное преобразование
(tf/v=O^ v = Преобразование обратное:
(tf»v)V=o ^ А\
' Л-0 = і /і0 і V = o '
V = - ga о goo V= б аР
(20.48)
Л°0 = 1
V^a0 = 0
A0o л ?
Ж
gpo goo
(20.49)
Пусть теперь задан другой неполный набор калибровок Ламе (16.8), т. е.
Zioa = о. (20.50)
Он также tf-инвариантен, автономен и позволяет найти другой вариант компонент хроно-монады (см. § 17):
( V0' = *_
I V-g00
(V)ft0O= I
\ Zia(0) = 0
IVа
К Wh0o=0
219. і/_«оо I О
± g 1 * (20.51)
YgOO
h\
Подставляя (20.50) и (20.51) в (20.44), получаем другое координатное преобразование из подмножества преобразований с Я-скалярными коэффициентами:
V= 1
=IgZo-
а
о
^0
