Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
*<*><*> = о, kWa = 0. (7.64)
Введем такую криволинейную систему, чтобы ранги матрицы Nliv и Nkn, а также и Iimn совпадали. Тогда
пи = HlaHbkab = 1, п22 = H2aHbkab = г2,
(7.65)
nS3 = H-H^kab = 1, па& = HaaHbkab = О
при а Ф ?,
«44 = HllaHbkab = р,
(7.66)
nal = HaaHbkab = 0.
В этом простом случае система 6 уравнений (7.65) содержит 9 неизвестных На . Так как kab = inv относительно галилее-вых преобразований, ее можно дополнить 3 калибровочными условиями и найти чисто пространственные тетрады. Система (7.66) переопределена (4 уравнения, 3 неизвестных тетрады). В частности, (7.66) удовлетворяется, если положить #4Ь=Ю. Однако из (7.65) — (7.66) выпадают компоненты #а(4) и #i4), о которых эти уравнения не дают никаких сведений. Аналогично примем:
N11 = H1aH1bNab = 1, |V22 = H2aH2bNab = — ,
/ г
(7.67)
N33 = H3aH3bNab = 1, Na* = О при а ф ?. Из этой системы найдем все чисто пространственные компоненты тетрад. Также примем систему уравнений
ДГ44 = H\H\Nab = 0, Nia - H4aHabNab = 0 (7.68)
и удовлетворим ее, положив H4a = 0. Тогда Яа(4) и Яа(4) остаются неопределенными. Принятая криволинейная система координат такова:
Гa?4 = Га4, = гд = о, fISv о, (7.69)
т. е.
Y(4)oy = #а(4)# - Яра0,Яр<4> = 0, (7.70)
Yfl(4)v - HaaH\ta - Я*(4)07Яр« ^ 0. (7.71)
Достаточным условием справедливости (7.70) является требование HaW = O. Однако, вообще говоря, Н%)ф0. В частности, положив Я«(4> = 0, Я4(4)=1, переходим к тетрадам, задающим покоющуюся систему отсчета посредством трехмерной цилиндрической системы координат.
В отличие от обобщенного преобразования Галилея (7.33) галилеевское преобразование (7.61) неголономно. Действительно, компонента тетрады Я4<2) = —cor вызвана преобразованием (7.61) и ведет к объекту неголономности
а(2)<1><4) = -^ №» = у- (7.72)
Обобщенное преобразование Галилея (7.61) не оставляет инвариантными тензориальные компоненты метрического тензора kmn. Действительно,
?(4)-(4)' = G(4)'aG(4)'b?flb = W2r2,
&(4)'(2)' = G(4)'flG(2)'bfeob = — cor,
(7.73)
/г42 = Hf Hfka-V + HkWH2Wkww +
+ HkWH2Wkwiay = Н,W H2Wki4yi2y = - cor2,
что совпадает с предельным значением метрического тензора (6.51) после его перевода в хронометрическую формулировку.
7.6. Обобщенное лоренцево преобразование при вращении с само- и антидуальными параметрами. Обобщенное лоренцево преобразование (6.45) записано в четырехмерно некова-риантной форме, с обобщенными параметрами как функция-
ми трехмерных величин со и г. Чтобы рассмотреть вращающуюся систему отсчета, движущуюся как целое с постоянной скоростью, представим обобщенное лоренцево преобразова-
417 ниє в ковариантной форме, когда тензорная размерность величин, входящих в параметры, полностью и явно выражена.
Тогда 3-векторы г и о заменяются 4-векторами. Зададим каждую мировую точку 4-мерным радиусом-вектором R (г, Xа) относительно некоторой общей точки — полюса (начала вектора R). Следуя [287], введем вещественный бивектор:
Pkn = ViknmlXm = ir]knm8XmQ\
(7.74)
V^nm —" irIbnmsQ8'
Компоненты 4-мерного вектора Q обозначим Q (Q19 Q29 Q3) и Q4, 4-вектор iQst очевидно, дуален полностью антисимметричному четырехмерному тривектору Vhnm. Операцию дуальности примем в смысле (4.2). Тогда
і
DPhn = ~ VhnrsPr. = - MhnptQpXt = - 'QfA]. (7.75)
Отсюда следует, что Phn бивектор простой и заведомо будет ненулевым, если 4-вектор Q выбран так, что
R-Q = O, PfenPft" = - (ТО - (XkQh)*). (7.76) Введем величины
q±kn =
Q±ab =X[CQ 4] + iX[aQb] q±ai = ± iq±bc
q±ai = + iq±bc 0
о-
= Phn ±DPhn- (7.77)
При соответствующем подборе Qk величины q±hri могут служить само- и антидуальными параметрами обобщенного лоренцева преобразования, которое, как и лоренцево преобразование с постоянными параметрами, представляется в виде (4.66). Рассмотрим частный случай, когда
Q4 = 0, Q = Й, (7.78)
Q±kn =
-(
Ч±аЬ = —QcXi ± iX[aQb]
±t(-QaXi ±tXvQJ\
Я±іа = T Ц- QaXl ± IXlbQc1 0 )
С переходом к трехмерной записи имеем:
Я±аЪ - - Я±С = - ± 2t (г X Q)c
q± = — dQ ± і (г V Q).
118
7.79) (7.80) При этом обобщенное лоренцево преобразование остается
6-параметрическим, хотяЗ-вектор Q входит во все 6 параметров» В еще более частном случае, когда
Q4 = О, X4 - О,
имеем
4±kn == I
Я±аЬ = + ibC Ч±аі = Ьа
Q±la — —Ьа 0
где
X [aQb]= —bc.
Преобразование становится 3-параметрическим. Тогда Л = 1— [QV2 — (Qr)2],
q+ab = —ibc q+al = —ba
q+a = b° 0
I ibc bC
I-ft. 0
kn .
Ч-кп
Если
Qi = Q2 =Q4 = о, Q3 Ф о,
то (7.84) примет вид:
О 0 -Ifc2 0 ' _*п = 1 о О О —fco
<7+ =
ib2 О О Ь,
-hn
(7.81)
(7.82)
(7.83)
(7.84)
(7.85)
(7.86)
О 0 ib2 О
і I ООО Ь2 —ib2 ООО
о — ь2 о о
Можно обеспечить ненулевой характер бивектора ркп, положив
г-їГ= 0.
Тогда
Д =
Следовательно,
i + ~q±hnq±kn
4
¦ы
Lk =
L* п -
A2 -O2
о о о
ООО
1 + ьі О 2 Ь2 О 1 — ь\ о
2 Ь2 О
(7.87)
(7.88)
(7.89)
\ + ьЪ
