Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
div E = h[«ah\hy\d[a (hfhyfE*). І8.28)
Это уравнение, как покажем ниже, можно преобразовать к виду, явно содержащему объекты неголономии.
125. Аналогично выражается вихрь вектора в локально-глобальном формализме [15]: 4
(rot E)j = -і- [O2(E3H3)-O3(E2H2)),
2 3
(TOtE)2 = -I- (в,(EiHi)-Si(E3H3)), (8.29)
H3Hi
(rot Е)3 = -L- (3, (E2H2) - д2 (EiHi)), HiH2
например, в цилиндрических координатах
rot, E = -! 0A rot E= dIr.
г ftp Oz dz Or
(8.30)
rot2E= -L
г ar г 5ф
В случае произвольной привязки локальных неголоном-ных систем:
rotc E = HlaaHfsibOa (HtiiEi),
где а, Ь, с взяты в циклическом порядке.
В релятивистской электродинамике локально-глобальный формализм становится четырехмерным. Тогда уравнение (8.29) и последнее уравнение обобщаются и соответственно принимают вид:
3 h\h\h\0[VL(hv'hSEn = }r,
(8.31)
ЗА1^vmAxUii (KrHtfErs) = 0.
В такой локально-глобальной записи уравнения содержат производные по глобальным голономным координатам, а компоненты электродинамических величин локальны.
Нетрудно установить переход между тремя рассмотренными формами уравнений, а также представить их локально-глобальную запись в форме, явно содержащей объекты неголо-номии. Введем обозначения:
3h\h\h\oltl (VV^mn) =
= 3Hl?hh\h\{EmnoltxhvrHtf + HlvrHtkO^Emn) = Ar + ВТ. (8.32) Можно убедиться, что
Ar= 4- (-VmnEmn + 2Er"Qkhn), Br = -OnEr". (8.33)
3 о
126. Следовательно,
= h\dJ?k-h\h\Qr^ + 2h\h\Q\?rP = r (8.34) _
Произведем переход от этого 4-мерного релятивистского уравнения к 3-мерному нерелятивистскому (8.28), ограничившись для простоты рассмотрением электрической части поля:
QnEwn+ 2 ?(4)п(?2(4>(4)„ + Qaon-EftnQwftJ=Zw. (8.35)
Поскольку в нерелятивистской электродинамике локальное время совпадает с глобальным, то
2Wftn = 0, (8.36)
d0?w" + 2EWaQbba = H11aQilEa + 2E°Qbbc=p. (8-37)
Конкретизируем это уравнение для случая цилиндрической координатной системы. Учитывая (6.42)—(6.43), имеем
VfljEfl = drEr + -j- дфЯф + dzEz + 2ErQ(2\2)i =
= д,Ег + — дфЯф + dzEz + = (8.38)
г г
что совпадает с (8.30). Таким образом, общековариантные нерелятивистские уравнения в эвклидовом пространстве содержат явно или неявно лишь трехмерные объекты неголономности, характеризующие декартовы локальные неголономные координатные системы. Аналогично
+ Er?^hM) SE (A + B)kmnt (8.39)
1 2
Atmn = — dikEmn], Bkmn= — — ErIkQrmnJ- (8.40)
Следовательно,
V^] =3 =
= dikEmni + 2 QrIkmEnlr = 0. (8.41)
В локально-глобальной форме уравнения также могут содержать явно объекты неголономии:
WdvjEhn + 2 QW^ = 0- (8-42)
127 В нерелятивистском случае аналогично предыдущему сохраняются лишь трехмерные объекты неголономности. В неголоном-ной локальной декартовой системе получим
Таким образом, релятивистское локально-глобальное построение электродинамики, ее тетрадная формулировка, являются четырехмерным обобщением хорошо разработанной в классической электродинамике трехмерной локально-глобальной формулировки. При этом трехмерные негодономные декартовы системы заменяются псевдодекартовыми неголоном-ными. Если временная ось глобальной криволинейной системы искривлена, то учет относительности одновременности приводит к отличию от нуля компонент объекта неголо-номии. Преимущество локально-глобального варианта электродинамики в том, что его уравнения легко сопоставимы с экспериментом: координаты голономны, компоненты величин локальны.
Если пространство — время плоско, то может быть введена глобальная псевдодекартова система координат. Тогда при произвольной привязке локальных систем к глобальной объекты неголономии остаются отличными от нуля, а тетрады h^v вырождаются в обобщенные лоренцевы преобразования Когда пространство — время искривлено гравитационным полем, введение глобальной декартовой системы невозможно и неголономность приобретает неустранимый характер.
8.4. Ковариантность различных вариантов электродинамики. Уравнения (8.1) явно ковариантны относительно голоном-ных постоянных преобразований Лоренца. Поскольку имеет место совпадение преобразований псевдодекартовых голоном-ных координат и преобразований инерциальных систем отсчета, лоренцковариантность уравнений (8.1) имеет двойной смысл. Они одинаковы во всех глобальных псевдодекартовых системах и применимы к любым инерциальным системам отсчета. При рассмотрении частных случаев скорость этих систем фиксируется.
Уравнения (8.13) и (8.20) также явно ковариантны, но относительно неголономных обобщенных преобразований Лоренца, т. е. они явно ковариантны относительно неинерциаль-ных систем отсчета в их реперном определении.
y[aEb] = dlaEb] + EcQcab. В трехмерной локально-глобальной записи:
(8.43)
h[acd?]Ec+EbQb = 0.
(8.44)
128. Уравнения электродинамики (8.3) и (8.4) явно ковариант-ны лишь относительно произвольных, вообще говоря, нелинейных преобразований криволинейных координат. Явная ковариантность' относительно обобщенных преобразований Лоренца при этом отсутствует. Если учесть, что локальное лоренцево преобразование оставляет тензориальные компоненты инвариантными
