Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
dx1 = dx3 = 0, (7.42)
поскольку и NJ3* отличны от нуля. Следовательно, <fe2 = r)kndxkdx%{ 1)^(3)^0 » т,(2)(2) (d*<2>)2 +
+ri(4)(4)(dx(4))2 = r2de2+2— dQdx4-
C
— s auv dx» dxV . (7.43)
Некоторые из коэффициентов Ajliv носят смешанный характер— построены и из Tjeb и из т)(4)(4). Из (7.43) и (6.50) находим:
а22 = т2))2 Г)(2)(2) + (JV2W)2 4(4)(4, = г\
(7.44)
С
** 1
«44 = Skk = (^4(4>)2 Л(4К4) =--Г '
Y2
Будем далее тензор Римана — Кристоффеля, относящийся к пространственно-временному подпространству, отмечать двумя черточками сверху. Аналогично (7.31) выделим из компоненты Ri2)(4)(2)(4) тензора Римана — Кристоффеля 4-пространства его часть, которая содержит только коэффициенты связности подпространства (dx^dx^). Для этого отделим коэффициенты вращения Риччи, содержащие индексы (1) и (3):
Я(2)(4)(2)(4) = ^(4)(2)(4) - 2Y(2)(4)^A(2)(4) =
(7.45)
= RW (4)(2)(4) + Y(2)(i)(2)Y(1)(4)(4) - Y(2)(i)(4)Y(1) (4)(2) = 0.
112 Промежуточная суммация в R{2) (4)(2)(4) охватывает все 4 значения индексов, в /?(2)(4)(2)(4) — только индексы (2) и (4). Подставляя ? два последних члена уравнения (7.45) значения Y(A)(m)</i) из (6.57), находим
Я(2)(4)(2)(4) = 0. (7.46)
Символы Кристоффеля, построенные в подпространстве (dx(2) dx(4)) из компонент метрического тензора (7.44), равны нулю (в силу стационарности и симметрии). Поэтому они также приводят с учетом (3.71) к (7.46).
Запишем условие, выделяющее трехмерную гиперповерхность (dxPdxWdxW):
'dxW = NvWdx* = 0, т. е. dx3 = 0. (7.47)
Рассматривая -при этом условии квадратичную форму ds2 = r\mdxkdxn U,3)=0 - Ч(і><i)(^(1))2 + + ^І(2)(2)(^(2))2 + Л(4)(4) (<**(4))2 = а^хЫх*, (7.48) находим с помощью нормальных тетрад: :-,
flu = L = 1, «22 ='2 = (^2^0^(2)(2) + (ВДЧіН*).
«24 = *L = — = AW(4)T)(4)(4), (7.49)
С
^44 =Skk = — 1/Y2 = {NkW)\m 4)f aii = 1, а22 - l/r2Y2, а24 = со/с, а44 = — 1.
Тогда символы Кристоффеля, построенные из этого метрического тензора и a»v, имеют следующие компоненты, отличные от нуля:
P11--L, ГІ4--Г?4= —, (7.50)
Г C2 CT
Г42 =--, Г41 = 0.
С
Пользуясь этими символами Кристоффеля находим:
Я2424 = 0,
(7.51)
R1U1 = O1TU- Г24Г41 = 0.
Запишем локальное условие, выделяющее двухмерную гиперповерхность (dx(1)dx(4)):
dx<2> = N/>dx» = N^dQ = 0, dx<3> = 0. (7.52)
8 Иваницкая О. С. 113 Поскольку лу2> и N3^ отличны от нуля, искомым условием будет
dx2 = Cfx3 = 0. (7.53) Следовательно, квадратичная форма принимает вид
dsW^=O = Л(Ш1> W + Tl(4)(4)(<fc<4))a =
= ^2--L (7'54)
Y2
т.
1 # 1
3H = 8и = a«= Su ---г .
Y2
Ou = Ju = I, Om = ^4 = -Y2, (7.55)
г! (oY 4
1 44 =--г" , 1 4! =
CO2Y2^
C2 ' ' C2
Отсюда находим, что подпространство (dxa)dx(4)) искривлено:
= (7.56)
с2
Произведем разбиение на части равной нулю компоненты тензора (4)(0(4), удовлетворяющего (7.31), выделяя связность, содержащую только индексы (1), (4):
Я(1)<4><1)(4) - ^(4)(1)(4) - 2Y(1)(4)A)(4) =
= ЇЇ(\ном - Y(1)(2)(4)Y(2)(4)(1) = 0. (7.57)
Подставляя сюда коэффициенты вращения Риччи из (6.57), вновь приходим к соотношению (7.56). Аналогично можно сформулировать локальные условия выделения других гиперповерхностей и выяснить характер их геометрии. ' 7.5. Обобщенное галилеево преобразование при вращении. Рассмотрим предельный случай неголономного лоренцева преобразования (6.45), когда устраняется локальная относительность одновременности. Чтобы воспользоваться критерием ->оо , запишем это лоренцево преобразование применительно к x4 = t, а не x4 = ct:
V= > (7.58)
114 Lk =
Tl —
1 O OO
OyO ®rY 0 0 10
^O corY/c2 O Y
тогда метрический тензор цилиндрической координатной системы будет:
^v = diag , , -1 ^=VVfti.
g^v = diag ^lt _± , і, --^j=
(7.59)
причем тетрады сохраняют свои прежние значения, задаваемые соотношением (6.42), не зависящие от с. Совершая над ними преобразование (7.58), вместо (6.45) находим
1 0 0 04
0 JL г 0 COY
0 0 1 0
0 югу с 0 V
V =
В пределе имеем: Gft" = IimLft" =
/10 0
0 Yr 0-
0 0 1 V 0 —coyг 0
0 \ to Yr2
0
V /
1 -У f 1I I cor
— cor Iol 1
Iim h\ = GHfc14n = ¦
(\ 0 0 ON О — 0 (о
О 0 1 OJ \0 О О Л/
(7.60)
(7.61)
(7.62)
е»
115 т. е. вырождение тетрад делает их нормальными. Совершая над вырожденными тетрадами преобразование азимутального угла (6.49), находим, что они совпадают с тетрадами цилиндрической координатной системы, т. е.
^V = diag (і, у, 1, 1 у
HiXfk' = diag(l, г, 1, 1), (7.63)
/ = ф H2WdQ = 2яг.
Следовательно, в предельном случае с-+ оо медленно вращающаяся система отсчета, описываемая вырожденным локальным метрическим тензором и обобщенным галилеевым преобразованием, характеризуется эвклидовой геометрией. Натуральное время при этом переходит в абсолютное ньютоновское.
В пределе с-+-оо хронометрический способ измерения расстояний бесконечно-быстрым сигналом приводит к нулевым значениям любых расстояний. Поэтому зададим криволинейную координатную систему с помощью локального метрического тензора Хаваса. Для простоты сначала примем:
