Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Euv - VVft^ = Lk>r) Ln*s ) VV^1 = inv, (8.45)
или что с ускоренными координатами сопоставляется локальное лоренцево преобразование, то может идти речь и о неявной обобщенной лоренцковариантности .
В локальцо-глобальном варианте электродинамики имеет место явная двойная ковариантность: и относительно изменения систем координат и относительно изменения систем отсчета в ее реперном понимании.' В частности, приняв в качестве обобщенного лоренцева преобразования (6.24), приходим к электродинамике в равноускоренной системе отсчета, а выбрав преобразование (6.45), — к электродинамике во вращающейся системе отсчета. Если преобразование Лоренца будет содержать гравитирующую массу га, приходим к электродинамике в системе отсчета, падающей в гравитационном поле и т. д. Иллюстрируем сказанное сначала на примере равноускоренной системы отсчета. Чтобы выяснить, каковы будут напряженности электромагнитного поля относительно равноускоренной системы, применим к напря-женностям, взятым относительно покбящейся системы отсчета, обобщенное лоренцево преобразование (6.24). Соответственно Принятому метрическому тензору С компонентой Г](4)(4) =
=--переход к 4-мерным величинам должен производиться
C2
по рецепту:
Е(ат = J_ ?<">, Е = _ сЕ (8>46)
с
Ограничимся случаем, когда лишь ?(fl)(4) 0. Тогда
?(1>=*Е\ ?(3) = ?3, (8.47)
E(2)(4)=Lfe(2) Ln^Ekn = ch atE*\ (8.48)
т. е.
*?<2>
одим
?». (8.50)
9. Иваницкая О. С. ^29
Аналогично находим В случае, если лишь E12 Ф 0, получим
H^ = сЬаШ3, Я(2) = + ^ + (8.51)
V с 3Ic2 J
Таким образом, электромагнитное поле в ускоренной, по Меллеру, системе отсчета находится неголономным обобщенным лоренцевым преобразованием (6.23) — (6.24).
Для разыскания электромагнитного поля во вращающейся системе отсчета совершим над Ehn неголономное лоренцево преобразование вида (6.45). Используем его в явно тензорной параметризации и для краткости с простым бивектор-пара-метром, т. е. в виде (4. 89). Тогда
Ek'n' = {6\6П, + a If>kiPnj + 6Vi +ZkiPnrPri +
+ oV'p/il + о2 IPktPnJ + PkiPnrPrn+
+ PklPiiPnJ + Pkl PiiPnrPrj]}Ei'> (8.52)
2
о =-.
I+P2
где phn удовлетворяет (6.74).
В частном случае (6.78), (6.81), (6.91) это выражение упрощается и дает связь между напряженностями поля во вращающейся и покоящейся системах отсчета. Переходя в (8.52) К 4-мерной векторной символике, имеем:
E'=Y(E-A)-^;xr)[E.Sxr)], (8.53)
H' = Y ( H + ~^ХГ)ХЕ--(шхг) H-(UXr)Y
I с C2(H-Y) )
Компоненты этих векторов относительно локальной неголо-номной псевдодекартовой координатной системы имеют вид:
;(2)' =Ei 2),
Е( 1)'= Y Я(3)
EiZy = Y ^із)+ -у- Я(1) j
(10.17)
(2)' = Hi 2)
н(ЗУ =Y [HiS)-Ei 1)
130 Эти соотношения совпадают с соответствующими уравнениями, рассмотренными в [51]. В первом порядке относительно 1->
—со Xг они совпадают с уравнениями, полученными ранее с
[289, 290]. Применяя те же обобщенные лоренцевы преобразования к плотности тока, находим
jk' = jk + a{pkn + pkrprn)jn (8.55)
с переходом к трехмерной записи:
P = Iw = Y ( P + / У P- /<4\ І = ± (f(1). Р, /<3>),
(8.56)
г = j 4- Y(^xr) Г P+ У -Jfoxr) 1.
L C2(1+Y) J
Подставим объекты неголономности из (6.48) в уравнения (8.15) и (8.20). Тогда:
2д[(2)#(3)] — д(4)#(1) = — /(1),
с
2д[<з)Я(і)] + —o(4)?(2)= —/(2),
C2 с
2дц\)Н{2)] + — Hi 2) — 3(4)5(3)= — /(3), (8.57)
г с
Y2
^(1)5(1) + д{2)Е{2) + 3(3)5(3)--Ei D —
г
OcdY2 г. — 2-/У(3) =р
с
(в этих уравнениях компоненты трехмерных напряженностей относятся к неголономной системе координат). Перейдем в этих уравнениях к производным по криволинейным координатам Oll=h^dh с помощью нормальных тетрад (6.50), т. е. к «вращающейся» системе координат. Вместо (8.57) будем иметь:
Я EJ я тт Y дЕ{D Y д ( cor „ \ 1 . 32Я( з) — 33Я( 2)---+ — — -Hi з) = —/(1),
С Ot С Ol \ С Jc
(8.58)
pi TT я TT Y дЕ{2) « ©V „ 1 .
^#(1)-^//(3)---+Y2—Я(3) - —/(2),
С ot C2 с
131 Я LT 1 л TT Y дЕ{3)
oi#<2>--O2Hi 1)---—--
у с а/
Y д ( H \ а. Я<3> - 1 / ---— -H--=-/О),
с at \ с J г с dlE0)+—d2Ei2) + d3E(3)+^l^L +
Y г с2 dt
Y2 coy2
-|--?(1) — 2-Я(3)=р.
г. с
Подставляя те же значения объектов неголономности в (8.20), находим:
2д[(2 )Е(3)] + o(4 )Н (1) = О, Co2Y 2T
20((1)^(3)] — o(4)#(2) — —— ?(з)== О,
с2
(8.59)
гг Y2 Co2Y2/*
2d[(i)?(2)] + 0(4)Я(3)+ — ?(2)--— ?(2)==0,
Г C2
3(,)Я(1) + а(2)Я(2) + 0(3)7/(3) + 2^4)=0.
г С
Перейдем к криволинейным координатам с помощью нормальных тетрад:
—^?(3)—д3Е(2) + JL + JL JL ( «L Е(3) ) = О,
с dt с dt \ с I
0^(3) -аз?(1)Y2E(S) = 0, (8.60)
С at C2
1XH , Y 0Я(3)
Ol?(2)--д2?(1)Н--
Yr с
с at \ с / г
0^,+ -^-^)+03^3)+^?- +
Yr с dt
+ Jf Я(1)+2^- ?(з)=0.
132. Сравним уравнения (8.60) с полученными в [51], т. е. с уравнениями:
fx„__L f, -L J- JLjU-Hx..) +
с dt с с dt \ с J
V-H =
(8.61)
fxe+x A(^xe) +
с dt с dt \ с }
V2 -> —>¦ / (О
H—EX[соX(соXг)], V-E = P + V- -
