Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Lt = NakNf4kn-N =
„ Nq^N^WmЛ(4)(4))8 _
ga* (W 4(4)(4)
104
^v = diag 11, 1, o).
Условие одновременности относительно системы отсчета в ее реперном понимании может быть выражено с помощью локальной (физической) компоненты времени или натурального времени:
= О, dx1 = h\k)dxW = 0. (7.4)
Пользуясь общим способом перелицовки мировых компонент в локальные, имеем
dx<4> = N^dx» = AV4W + NaWdx* = 0. (7.5)
Отсюда находится разность координатного времени для двух физически одновременных событий:
d* = А* - - _ gq^
^4(4)Л/4(4)Г1(4)(4)
как условие локального выделения в 4-пространстве гиперповерхности (dx^dxWdxW). В метрической формулировке это условие — следствие равенства нулю ковариантной компоненты временной координаты:
dx, = g^dx» = galtdx<* + S4A4 = 0. (7.7)
В случае нормальных тетрад соотношения (7.4) и (7.7) различаются множителем
dx, = Nfdxk = N^dxa) = - W4<4W4> = 0. (7.8)
В тетрадной формулировке в отличие от метрической физическая одновременность в равной мере определяется равенством нулю как ковариантной, так и контровариантной компоненты временной координаты. Условие dx4 = 0 в отличие от (7.6) — условие одновременности относительно избранной криволинейной координатной системы. Эта «координатная» одновременность зависит от произвола выбора координат.
Таким образом, в специальной теории относительности в 4-декартовых координатах имеет место один вид одновременности: относительно псевдодекартовой системы координат или относительно системы отсчета, поскольку совпадают преобразования системы координат и системы отсчета [44]. В теории вращения и теории гравитации возможны два вида одно-
105 временности. Однако физический смысл имеет одновременность относительно системы отсчета в ее реперном определении, но не «координатная одновременность». Физическое время по определению равно
х<4) = j dxw9 dx(4) = bWfap.. (7.9)
Вследствие неголономности лоренцева преобразования
ную точку (dxW — не полный дифференциал). Действительно, обойдя по замкнутому контуру, например, окружности в плоскости (г, 6) с центром на оси вращения получим
AXi4y = = § N2^dQ =
= Jj 2diM4yd&(hy = - 2 f J u(Ay^dxvdx» =
= + 2 J J Q^Vedr (7.10)
S — поверхность, опирающаяся на замкнутый контур (рис. 5 и 6). С помощью нормальных тетрад находим:
dxW = NWdx» = —---— уdQ -
у c
1 C8 J [Ш C2(I-O)W) J'
def
- cW = ds2 jaxa = 0 = ri(4)(4)dx<4>d^4> - (7.11)
= — NilWNvWdx*1 dxv г= — a^dx» dxv,
(O2A4Y2 wr2 1 тл * л
022=-^2-. «24 =--— . «44 = -уг . Detajiv = O.
Физическая или натуральная длина определяется своими трехмерными локальными компонентами или мировыми проекциями этих трехмерных компонент, т. е.
dxa N^dx» = Naadxa,
d> = = (dx1 = dx^, dx2 = A/2(2)dx<2>, (7.12)
dx3 = dx3, d> == A/4(2)dx<2)),
dl2 = NaoN?4]flbdxadx? = Tu<fxfldx* =
= ffapd*» dxt = dr2 + Y2Z-W + dz2 = ds2(7.13)
Из (6.52) видно, что тетрады, испытавшие только преобразование азимутального угла, этого результата не обеспечивают. Он — следствие локального лоренцева преобразования (6.45). После смешанного преобразования (6.53), диагонали-зующего квадратичную форму аналогично [215] имеем:
8WM = р%'(») pG'(v)gW = diag te(a)(?) = ga^9 - 1), (7.14)
8ь)м = diag fee?, 0),
т. е. преобразование (6.53) не меняет натурального метрического тензора (7.1).
Аналогично, как видно из (6.22) — (6.23), локальное лоренцево преобразование при равноускоренном движении также влияет на натуральный метрический тензор:
^V = W^lab = diag (1/с2, 1/с2, 1/с2, 0),
(7.15)
L = W4* = diag , 1/с2, 1/с2, 1 + ) sh2a^ .
107 7.2. Натуральная связность при вращении. Найдем мировые компоненты трехмерной части локальной связности — натуральные коэффициенты связности. Для произвольного вектора Vа имеем
№ = Yabkvbdxk = № + Yflb(4)dx«\ (7.16)
6va = yabcvbdxc = tSabcNJv» NJdxv =
= yabcNabNZcVfx dxt = NliaSvV. (7.17)
Учитывая, что для нормальных тетрад NakN^k = NaaN^a = б/ , из (7.16) получаем
Soe = Ne ClN0bNjyabcXP dx* = Ye а^ . (7.18)
Несколько иные соображения приводят к тензориальным
*
компонентам локальной связности Yeaji в [285], получившие развитие, в частности, в [116]. Из (6.58) — (6.59) и (6.50) следует:
Y122 = -'Y4, Y2I2 = у-, Y22t = O, (7.19)
Y2Ei2] Ф 0, Y(1)(2)2 = - Y(2)(i)2 - Y3. (7.20)
Введем тензориальные компоненты трехмерной локальной производной аналогично [212]:
(7.21)
K^da-N WiN^d2 +N^ydl).
Воспользуемся (7.19) — (7.20) для разыскания «натуральных» символов Кристоффеля трехмерного подпространства:
* ^ef * *
IieflV = YV+Я"* W- ^7-22)
Следовательно,
T122 = Y122 = - TY4, Г221 = N\ dtN2k = ^r ,
(7.23)
* * V2 *
Г2І2 = Y2I2 = » T2fl21= 0,
что совпадает с натуральными символами Кристоффеля, полученными иным путем в [286].
* _
Отсюда видно, что связность Г — следствие обобщенных преобразований Rkn и Lkni введенных в (6.44) и (6.45). Полу-
108 ченные значения «натуральных» символов Кристоффеля находятся
также с помощью метрического тензора ?а|3, например, в [283].
