Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Из (6.42) следует, что в отсутствие вращения локальный репер в подпространстве (X1X2) испытывает б.м. преобразование вида
(o12 - Y12x^ = - rdx\ Y122 = —г- (7-24)
Из (7.19) вытекает, что преобразование
^12 = Y12^ = -Vfdx2 (7.25)
отличается от (7.24).
7.3. Неэвклидовость пространственноподобной гиперповерхности. Характер геометрии определяется значениями и свойствами тензоров Римана — Кристоффеля и кручения. Могут иметь место косвенные соображения, частные следствия неэвклидовости, позволяющие предварительно судить об отклонении геометрии от эвклидовой, например о длине окружности и площади круга на вращающемся диске. Нормальные тетрады (6.50) непосредственно показывают, что причиной отступления от эвклидовости является неголономность гиперболической части лоренцева преобразования при вращении. Действительно:
I = ф dxW = ф N™'dx» = JJ 23[fA Nv]i2ydx»dx* =
= (j) Ni2)'dQ = 2 f J Qi2yztdOdr = 2Jiry1 (7.26)
S = JJdx<W2> - jjNlliiyNj2ydx»dx* =
= JJ NaiiyNJ2y a*a* = JJ yrdrdQ =
(1-/'-j^)- (7-2?)
2 nc2
ko2
Эвклидово значение длины окружности — следствие неголономности обобщенного преобразования R\n), входящего в (6.44). Как видно из (6.52) и (7.26)-(7.27), тетрады, испытавшие только преобразование азимутального угла, приводят к эвклидовым значения / и S.
Содержащиеся в (7.26)-(7.27) релятивистские поправки, сигнализируют об отличии от нуля некоторых компонент тензора Римана — Кристоффеля. Неэвклидовюсть относится, как видно из (7.26) — (7.27), к двухмерному подпространству (х\
109 де2) вращающейся системы отсчета и вызвана тем, что поле тетрадных векторов Є(2/ испытало лоренцево преобразование (6.45). Четырехмерное пространство Минковского с тетрадами (6.52), пространство покоящейся системы отсчета, — псевдо-эвклидово. В этом легко убедиться, подсчитав с помощью (6.52) символы Кристоффеля:
Г*W = (тГ2>1> = ^r , T2Vr=-^:),
г»' -Ivv — г г1' — ^r г2' — M
1 V2' = 1 2 2' = -T9 1 4'2'=--, 1 Г2' = - I t
V С Г J
(7.28)
TjaV3' = о,
г»' /Г1' ЮГ Г (02Г (0 \ і V4' = I L 24' =--» і 4'4' =--- , I 24' = - I •
\ С C2 сг /
Отсюда вытекает, что при любых значениях индексов
Rli'wo* = 0. (7.29)
Очевидно, и в локальных псевдодекартовых системах, испытавших лоренцево преобразование (6.45), также получим
R - NfN^'N^rN0'^,vo> = 0. (7.30)
Так как система координат (dxW) неголономна (ниже для простоты опустим штрихи в соотношении (7.30) и его следствиях), то, согласно (3.70), компоненты тензора Римана — Кристоффеля содержат объекты неголономности.
Выделим из компоненты RabCd тензора Римана — Кристоффеля в 4-пространстве часть, которая содержит только чисто пространственную трехмерную связность в псевдодекартовой неголономной системе:
RaIcd = гаъCd + 2Yo(4)[cY(4W] --2YV^d-2YV)?(4)cd = <Rab cd + 2yo(4)[cY(4W]— 2Yflb(4)Q(4)cd. (7.31)
Промежуточная суммация в Rabcd происходит от 1 до 4, *
в Rabcd от 1 до 3, т. е. в пределах рассматриваемого подпространства. В силу (7.30)
^flbcd - - 2Yfl[(4)cY(4Vl<tf + 2Yflb(4)?(4)cd. (7.32)
110 В частности,
R%xm = YaWV4Wi) - 2 YflW^r 0)(2)] =
= -?! (733) C2
или в согласии с [286
A12I2 = (^1(D)2 R{\)(т = - 3 Ye. (7.34)
Последнее выражение совпадает с полученным непосред-
*
ственно из коэффициентов связности T?Y(7.23), в чем легко
*
убедиться. Компоненты типа і?(1)(2)(і)(г) также непосредственно
*
получаются с помощью уаЪа. Согласно [285], компоненты (7.33) удовлетворяют соотношению
Rabcd = Rabed--Т~ iflae^bd — HadHbc)--— HabHcd, (7.35)
4 2
где
Sk 4
(7.36)
Hiiv = ^jaYV ^V Yji-
Введение Yu и сопряжено с потерей сведений о временных трансформационных размерностях, одновременно фиксирующих и неголономную систему координат и систему отсчета. Для нормальных тетрад имеем
N <4>
Yv = -^l- > (7.37)
причем величина Hliv связана с компонентами объекта неголономности Q^v, но не совпадает с ними:
^4Vv = d[tlNvf) = NiVHils + Yv<W4> - Y1A^V (7-38) Все остальные чисто пространственные компоненты натурального тензора Римана — Кристоффеля Ra^ за исключением ^1212, в трехмерном подпространстве рассматриваемого случая вращения, как нетрудно убедиться, —нули.
Из (7.23), (7.20) и (6.48) видно, что тензор кручения в исследуемом подпространстве (X1t х2) отсутствует:
S212 = Г2?І2] = Y2tl2] + ^212 = 0, (7.39)
поскольку
Q212 = N2kNimN2nQkmn = —. (7.40)
2 г
Iil Таким образом, неголономное лоренцево преобразование (6.45) не нарушает псевдоэвклидовости., 4-простра'нства, но превращает рассмотренное^ двухмерное подпространство в искривленное без кручения. Равенство нулю кручения триви-
*а
ально, так как T?v—символы Кристоффеля.
7.4. Геометрия пространственно-временных подпространств.
Условие (7.5) — локальное условие выделения трехмерной гиперповерхности (dx^\ dx&\ dx^). Аналогично введем условие локального выделения гиперповерхности {dx<2\ dxW), т. е. положим
dxfb = NV dx» = 0, dx& = 0. (7.41)
Отсюда следует, что в дифференциалах голономных координат это условие имеет бид
