Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Во-вторых, прежде чем ограничиться в (6.12) производными по времени, выполним дифференцирование неголономного лоренцева преобразования:
Lk + tW(n) -^r L,<"> = Fm. (6.14)
«6 Коль скоро глобальная голономная система координат псевдодекартова, обобщенными коэффициентами Ламэ (тетрадами) являются локальные преобразования Лоренца. Поэтому
YwOnKn) = WnAm). Y\h = - L\nALr™
и уравнение (6.13) принимает вид
d— (xPr) = Fm + vmrykrk. (6.15)
dX>
Ограничиваясь дифференцированием по временным локальным и глобальным координатам (с дифференцированием связан последний индекс Ykrk) и тем самым также нарушая полную ковариантность (6.15), имеем
d (Vm^) = Fm + vmry\ 4- (6.16)
dX4
Следовательно, учитывая, что
Y44b = O1 Vab = Xf\ (6.17)
получаем if
-& = pa + цаЬу*Ьі = fa _ 2u<">Q4b4 =F"- 2Q4a4 = Fa3KB,
dt
(6.18)
-A (^4) =/Г4 + ^Yb4=O. dt
Сравнивая (6.6) с (6.18), видим две эквивалентные возможности. В первом случае релятивистская поправка присоединена к собственной массе, во втором включена в силу. Поэтому силу называют эквивалентной, или эффективной, т. е.
2 Q\bdXb dt
(6.19)
Таким образом, 4-мерная «эквивалентная сила» включает в себя объекты неголономии обобщенного лоренцева преобразования. Связь сил с объектом неголономности рассматривалась также в [272]. Поскольку к уравнению движения, содержащему Xk=^Oy нет достаточно обоснованного подхода, представляет интерес выяснить, соответствует ли уравнение
движения с ХкФ0 более полной неголономности локальных систем.
87 Таким образом, переход в динамике СТО от инерциальной к локально-инерциальной системе отсчета (локально-содви-жущейся с ускоренным телом) осуществляется неголономны-ми преобразованиями Лоренца.
6.2. Переход к равноускоренной системе отсчета лоренцевым преобразованием, зависящим от времени. Меллеровское преобразование, введенное в [49, 202] в связи с изучением ускоренного движения и парадокса часов, нелинейно относительно времени и задает переход от глобальных криволинейных координат (л:^) к глобальным, голономным псевдодекартовым (Xn):
Xk = MJ*x» + Mk, X4 = Tj X4 = t.
(6.20)
Выпишем коэффициенты этого преобразования применительно к хронометрической трактовке СТО:
Mll* =
cha^ 0 0 sh at с
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
а
JL с
Mk= — (chat — 1), 0, 0,
shctf
(6.21)
Преобразование Меллера анализировалось в [30] в связи с критической оценкой принципа эквивалентности в ОТО. Переход от конечных преобразований (6.20) к дифференциальным, в частности, обсуждался в [50] и [273—275]. Поскольку метрика, соответствующая (6.21), не может покрыть всего 4-пространства, обсуждались расширения этого преобразования [276—279] При условии a = const, g = const имеем
dXk = AfllW + х» dM/ + dMk = Pkdx», P/ = MJ* + d^Mf + OllMk =
dXk dx»
chat
0 0
1 +
ax
1 \
— sh at
0 0 shaf
с
1 0 0
0 1 0
0 0 fi + -
—)cha/ с 1
(7.45)
89 Разложим это голоиомное преобразование на произведение двух преобразований, явно выделив лоренцево, зависящее от времени [280]
P к == Tk U (Г)
rH — (Г)'па »
L\r) =
cha^ 0 0 с sh at
0 1 0 0
0 0 1 0
shat с 0 0 cha^
(6.23)
(первый индекс Lk(г) относится к голономной системе).
Разложение требует введения промежуточной, как ниже убедимся, неголономной системы координат (dx{r)). Обобщенное лоренцево преобразование (6.23) оставляет инвариантным метри-
,. / 1 1 1
ческии тензор вида g(h)M = diag —, —, —
\ С с с
1
Обратное преобразование
I
L^ =
ch at О
0 0
— с sh at
1
0 0
о
0
1
о
sha/
с
0 0
cha<
(6.24)
также оставляет инвариантным метрический тензор gkn —
= diag (—, -L, -L1-I)
\ C2 C2 C2 I
Учитывая диагональность тетрад Л(1(г), находим объекты неголономности применительно к глобальной криволинейной системе координат:
Q(e\m4i=A%t)Av (1)0?Л)(4) =--" . ,
2с 1 +
ах
Q^14 =
— а 2с
QaUV = о,
(6.25)
Q4H =
2с
а
1 + — ахА с /
89 Лишь временная координата локальной системы dx(4) оказывается неголономной (рис. 4):
Ьх^= $ AlWrf*11 = — Я а{4) ufWcdt =
ANDA
cha tN f
[ampha/jv,
Дх(а> = <? h^a)dx» = 0.
(6.26)
^/I D
CtnpAot Xl=O; Xl-PQ', Рис. 4
Тензориальные компоненты объекта неголономности применительно к системе (Xk) имеют вид
Q4 f 4 =LfcVf LVQwOX.) = __ a ch3a?
2с ( 1 + — ax1
(6.27)
Поскольку отличен от нуля лишь один коэффициент вращения Риччи:
Y (4)(1)(4) == -20(4)(1)(4) = —7-ZTZ = 2Y(4)[(1)(4)]»
C l +
or
(7.45)
Y(1) (4)(4) =
g
90 б. м. лоренцево преобразование содержит лишь одну, отличную от нуля компоненту
«(1)(4) = y(1)(4)^^0, (6.29)
следовательно, параметры этого преобразования просты и могут быть представлены в виде:
Y (4)(1)(4) = -2^(4)^4)/(1)] = — Л(4)(4)/(1) = fab
(6.30)
^[(1)(4)] = 2/[(l)dx(4)].
Один из делителей бивектора ыкп совпадает с перемещением.
Выясним характер криволинейности используемой системы (XV). Из (6.22) находим:
