Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
122 Таким образом, введение глобальной криволинейной координатной системы в СТО может оказаться удобным, в ОТО необходимым. Однако использование тензориальных «криволинейных» компонент электродинамических величин препятствует сравнению теории с экспериментом. Это требует развития другой формулировки релятивистской общековариант-ной электродинамики.
8.2. Локальная формулировка релятивистской электродинамики. Согласно [23], переход к 3-векторам электромагнитного поля в релятивистской общековариантной электродинамике, как и в классической, требует предварительной замены тензориальных компонент напряженности электромагнитного поля компонентами локальными. Для этого, как и в классической электродинамике, должны быть введены локальные, но уже не декартовы, а псевдодекартовы неголоном-ные системы координат, а замена должна производиться посредством тетрад — 4-мерных коэффициентов Ламэ:
= Vfe)Vn)?<h)<n>. Vfe) (8.11)
(В дальнейшем для простоты скобки у индексов иногда опускаются). Тогда переход от бивектора к трехмерным векторам выполняется в 4-мерной локальной неголономной координатной системе. В этой системе уравнения электромагнитного поля могут быть введены двумя путями. Во-первых, поскольку в этой системе отличны от нуля коэффициенты связности, естественно распространить рецепт перехода, использованный в случае глобальных криволинейных систем и на псевдодекартовы неголономные системы — замену простых производных ковариантными и соответствующую замену компонент. Тогда вместо (8.1) получим
V(fc)?(n)(fe) = /(п), V[(h)?(m>(n>] = 0. (8.12}
Перейдем в первом из этих уравнений к частным производным:
S/hErk = dkErk + Yph^pk + VtphErp = f. (8.13)
В силу (3.23) и (3.26)
EpkYph = - WpkEpk, Yftpft = 2Qkpk, (8.14)
т. е. переход к частным производным явно выделяет объекты неголономности:
S/kErk = dkErk - QrpkEPk + 2QkkpErp = f. (8.15)
Во-вторых, к этому же уравнению можно прийти другим путем"— перелицовкой уравнения (8.3) с помощью (3.60). Действительно,
VllCw = h\h\d?*» + 2Ek»h\ Q%n +
+ Ek"h\dvh\ = h\jk. (8.16)
123 Свернув это уравнение с и учитывая, что
W\ = - nw.
(o. 1 / )
приходим к (8.15).
В отличие от (8.4) из второго уравнения (8.12) коэффициенты связности не выпадают. Переходя во втором уравнении (8.1) к ковариантным производным, найдем
Vt An] = d[kEmnl - уpImkElPin1 - УpUhEmb =0- (8.18)
Однако
VlnkEmb =QPlmkElPm. (8.19)
т. е.
WikEmni = d[*Ann] + 2QpimkElpl п] = 0. (8.20)
Это же уравнение можно получить перелицовкой уравнения (8.4).
Таким образом, в чисто локальной формулировке уравнения электродинамики содержат производные по локальным неголономным координатам и локальные неголономные компоненты электродинамических величин. Аналогично находим:
Ehm = ^lkAmb [}Ak+ RkmAm+Г = 0,
(8.21)
? - V<«V(*\ Rkm = RmP\rnHр).
где R{k) (р)(т)(п)> согласно (3.70), содержит объекты неголономности.
Голономные компоненты JSltv инвариантны относительно калибровочных преобразований голономных компонент потенциала:
= A11 + д^А,
(8.22)
'Eliv = 2 Ve11A] = Etiv = inv, 0[Л,А = 0.
Отсюда следует:
'Ekn = h\h\'E^ = Ehn = inv,
(8.23)
'An = An + дпА.
Калибровочная инвариантность неголономных компонент напря-женностей вытекает и непосредственно
Ehs = 2VthM4, + 20[А]Л - 2QrlhorA = 'Eks, (8.24)
поскольку в силу (3.82) второй член этого выражения отличен от нуля. Действительно, нетрудно убедиться, что
2д[ А]Л = 2drAh\h\diM = 2 (дгА) Qrsb. (8.25)
124. Интегрирование полученных уравнений в силу неголономности координат сталкивается с определенными трудностями. Чтобы обойти эти трудности, развита третья, тетрадная формулировка электродинамики, промежуточная, сохраняющая голономность координат и локальность компонент рассматриваемых величин.
8.3. Локально-глобальная формулировка электродинамики. Эта формулировка в упрощенном виде широко используется в классической (нерелятивистской) электродинамике, где она сформулирована в трехмерной записи применительно к трехмерным глобальным координатным системам. Особенно часто в локально-глобальном формализме исследуются классические электромагнитные поля волноводов, резонаторов и других объектов, создающих поле с характером симметрии простейших трехмерных криволинейных координатных систем (глобальных). Такой переход производится с помощью трехмерных коэффициентов Ламэ, т. е. диагональных триад. Следуя, например, [15], выпишем результаты перехода при вычислении дивергенции от вектора:
d.vE_ 1 f O(EiH2H3) . O(E2H3H1) , H1H2H3 \ дх1 M
+ ], (8.26) дх3 J
где Hi — коэффициенты Ламэ, ха — голономные криволинейные координаты. Например, в цилиндрической системе имеем:
divE_ 1 д(гЕг) + 1 дБ, + дЕ2 = г дг г дер dz
___ 1 д (X1Ei) 1 дЕ2 дЕ3
- --Tl--г —(O.2/)
X1 OX1 X1 OX2i OX3
X1 = r, X2 = ф, Er = Eilh Ey = Ei2), Ez = Ei3h
где ?(i), ?(2), Eiз)—неголономные компоненты вектора E относительно локальных декартовых неголономных координатных систем, оси которых касательны к осям криволинейной системы. Если привязка локальных систем к системе глобальной произвольна, то вместо (8.26) получим
