Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Если одна из глобальных координатных систем псевдоде-картова, уравнение (6.62) упрощается:
OliXk = Pkll = бkrL\8)hW = ys>L*(s) (X* ). (6.63
Ограничимся для простоты подпространством (х\ х4). Тогда локальное лоренцево преобразование будет однопарамет-рическим, а система уравнений (6.63) следующей:
Pr1 = A1Wifa, + А1<4>іГ(4) - HiW ch Є + ft,<4) she, (6.64) Р\ = А4(1) ch Є + А4<4> sh 9, (6.65
р\ = A1(I) sh Є + й/4> ch Є, (6.66)
Р\ = A4*1* sh Є + А4(4> ch Є. (6.67)
Ограничимся ортогональными ускоренными системами координат, когда
?14 = WЛ(*>(»> = hi(1\0) - K1V = 0. (6.68)
Это условие выполняется, если
А/4) = 0, А4(1) = 0. (6.69)
98 Пос кольку лоренцево преобразование однопараметрическое, одно из этих условий калибровочное.
Тогда вместо (6.64) —(6.67) имеем:
P14 = Zi1 che, РТ4-Zi4ShB, (6.70)
Zi1 S Zi1W, A4^ft4W
р\ = Zi1Sh в, Pi4 = Zi4 ch Є. (6.71)
Условия интегрируемости этих дифференциальных уравнений, т. е.
дцР\} = 0, диР\і=0, (6.72)
можно соответственно привести к виду
aA + = ~ AI0 - TTl- A1, (6.73)
th o tu
дА + th Qhl dfl = — hfl — th Qhi, (6.74)
где Є = o46, A1 = o4V°.
Из двух последних уравнений следует
0,6 + — ft, = 0. (6.75)
К
Будем искать «ускоренные координаты», порождаемые лоренцевым преобразованием (6.23). Тогда
Є = -X41 dtO = 0, A1 = 0. (6.76)
С
В этом случае уравнения (6.73) и (6.74) совпадают и имеют решение
Zi4+ (6.77)
с
где в соответствии с (6.76) положено
Zi1=I. . (6.78)
Подставим (6.77) и (6.78) в (6.70) и (6.71). Решая эти уравнения и выбирая соответствующим образом постоянные интегрирования, находим, что искомые «ускоренные» координаты удовлетворяют меллеровскому преобразованию:
X = *ch-f+-|-(ch-f--l), (6.79)
7* 99 XVc = T= JE- Sh-^ +JL sh-* .
g C C C
Таким образом, преобразование к равноускоренным коор* динатам, обратное (6.78), является частным случаем представления общих преобразований координат в форме локального преобразования Лоренца (6.23) с параметром 0 = аt, где а = const.
Может оказаться, что при заданных исходных тетрадах и дополнительных координатных ограничениях избранное лоренцево преобразование нарушает условия интегрируемости системы (6.62), т. е. приводит к неголономным координатам. В качестве примера рассмотрим одноґіараметрическое локальное лоренцево преобразование (6.45), порождающее «вращающиеся координатные системы».
Для простоты ограничимся подпространством (х\ X21 х4) и исходными тетрадами (6.42). В этом случае система (6.62) примет вид:
Pp1 + A1OK = К Ру2 = r(chWi2y-shWiAYl
Pl\ = — sh Qhvi2y + ch efcr(4)s (6.80)
P2'* = A2 0Г, P2^r(ChOA2-SheAV), h2^h2\2y,
р2\ = — sh ЄА2 + ch ЄА2' (4)', (6.81)
P4^ = A4 (I)S Р4'2 - r (ChQhri2y -SheA4), А4^А4'(4г
Р4'4 = — sh ЄА4'(2Г + ch 6А4. (6.82)
В 3-мерном подпространстве можно по произволу задать 3 калибровочных условия для тетрад A^V- Примем
Vi2y=Vw = Wi 4)- = 0. (6.83)
Будем разыскивать из (6.80)-(6.82) ортогональную систему координат, т. е. положим
= diag-CfiT1'1', grr, g4'4')- (6.84)
Из (6.83) и (6.84) следует
Hrixy= h4\iy= Wi2y=O. (6.85)
Тогда вместо (6.80)-(6.82) имеем:
PrI = ^1, Pr2=Pr4==O, (6.86)
Р2\ = 0, Pr2 = rchQh2, Р2\ = - A2She, (6.87) Pvi = 0, P4 2 = — г sh 6Л4, Р*'4 = Cheft4. (6.88)
Аналогично составляя условия интегрируемости систем (6.86) и (6.87), находим
A1=Ie Л2 — -ITq = ~~ • (6'89)
1 2 Г che TY
Однако условия интегрируемости системы (6.88), т. е. соотношения
d[iP4'2] = 0, SllPv41 = О, Э[2Р4'4] = 0, . (6,90)
в случае лоренцева преобразования (6.45) не удовлетворяются. Действительно, исключая из двух первых соотношений (6.90) производную (З1Л4, получим
th 0 == 1. (6.91)
Таким образом, локальное лоренцево преобразование (6.45) не допускает введения голономной ортогональной вращающейся системы координат. Приравнивая d[i P4'^ и д [іР4'2] соответствующим объектам неголономности, можем ввести в согласии с (6.53)-(6.55) неголономную ортогональную систему координат с неголономным временем.
Будем разыскивать из- (6.80) — (6.82) неортогональную систему координат вида
?12^14^(), g24 ф 0.
Тогда из (6.83) и (6.92) ^следует:
ft4'(,)- = 0, A2 (I)' = 0. - (6.92)
Составляя аналогично условия интегрирования системы уравнений (6.62) с учетом (6.83) и (6.92) и разрешая их относительно неизвестных компонент W k'> находим в согласии с (6.50):
A1 = I9 A2 = —, h*\2y = th Є ch Є, A4 = ch Є. (6.93) г ch Є
Тогда коэффициенты координатного преобразования принимают вид (6.49). Таким образом, голономная неортогональная «вращающаяся система координат» с координатами ф/ = ф±о)/ и t' = t может быть введена. Она является представлением локального лоренцева преобразования (6.45). Ее неортогональность выражается более слабой связыб «вращающихся координат» с параметром лоренцева преобразования.
6.6. Натуральные величины и их трансформационные свойства относительно локального лоренцева преобразования.
Измерению подвергаются не 4-мерные величины в целом, а
