Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Q<4>',
(4)41)' =
co2Y2r 2с2
(6.48)
т. е. лоренцево преобразование (6.45) неголономно. Оно порождает новые, отличные от нуля, компоненты объекта неголономности и обобщает данные в (6.43).
Существенно, что тетрады описывают систему отсчета при помощи некоторой системы координат и поэтому выбор системы координат влияет на характер тетрад. Действительно, если над (6.46) выполнить голономное координатное преобразование
Dk' — Г H ~~
1 0 0 0
0 1 0 — ш/с
0 0 1 0
0 0 0 1
(6.49)
то тетрады станут нормальными, т. е. удовлетворяющими условиям (6.41):
10 0 0
V*' =
Yr 0--^-COYr2
0 1
0 0
0
1/Y
= Nk
-ivH •
(6.50)
Применяя (6.49) к уравнениям (6.40), приходим к метрическому тензору во «вращающейся системе координат»:
hykhynr}hn = 1, MVrifcn = -
Y
(6.51)
A2 =
0)Г2
V*V%n = 0 при ц Ф V, |х, V ф 2, 4.
Тетрады (6.50) могут быть найдены из этих уравнений и калибровочных условий (6.41).
Очевидно, переход к «вращающейся системе координат» не меняет локальных компонент объекта неголономности
95 (6.48). Для получения нормальных тетрад порядок выполш ния преобразований P^fv и Lhn несуществен. Тетрады
K>k = P^ Kk -
1 0 0 0
0 г 0 0
= 0 0 1 0
0 (ОГ с 0 1
1 0 0 0
0 1 /Г 0 —(О/с
0 0 1 0
0 0 0 1
(6.5
характеризуются объектами неголономности (6.43) и задак покоящуюся систему отсчета в ее реперном определении с п< мощью «вращающейся системы координат».
Наряду с преобразованиями (6.49) и (6.45) может бьп введено неголономное преобразование
Pj^ =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
О (OY^2
с О
1/Y
Pv — ґ 00 —
r 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 (OY2r2 0 Y
с
(6.5
диагонализующее метрический тензор. Действительно, nocj такого преобразования квадратичная форма и нормальнь тетрады принимают вид: ^
*<W<v> -^V50Ww = diag (1, Y2'2, 1, -1),
(6.5
^)(*) = diag (1, Yr. 1, -D-
Преобразование (6.53) порождает следующие компонент объекта неголономности:
a<4W = Ъ Pnw = (1 +Y2), 0(4).ч- . (6.5.
2с2
(6.49)
Далее прододжим сопоставление преобразований (6.53).
6.4. Бесконечно малое лоренцево преобразование при вр; щении. В силу неголономности лоренцева преобразован« (6.45) коэффициенты связности в локальной псевдодекартс вой координатной системе отличаются от нуля и являютс коэффициентами вращения Риччи. Следовательно, бесконе* но малое обобщенное лоренцево преобразование, индуцир< ванное конечным лоренцевым преобразованием (6.45), г определению имеет вид
®fcm = YKmndXn = Yhm>dx^ , (6.5<
96 где YftmX могут быть найдены с помощью нормальных тетрад (6.50) и метрического тензора (6.51). Используя эти соотношения и (3.58), найдем следующие тензорные и частично тензориальные компоненты коэффициентов Риччи:
Yftmi
-(
® 2 Y(ZX4)I = -Y2
Yfem3=O,
Yftmz = I Y(i)(z)z = — Y. Y(IX4)Z =---WY
(6.57)
Yftm4 :
coy
Y(i)(2)4 =--— >
Y(I) (4)4 =
J_
c2
Co2Yr
г\,=
о
о
О--7 w2Y2r О
с2
(О
гс
¦ay 2r О
О ^r<o2Y2r
(6.58)
V*. — ГЛ — Л uz — 1 uz —
= ^r122 = —г.
F142 =
cor
р. 4)
р.4 — Г М-4 — f —
Y\3 = 0, cor г, _ Ш2Г
- —. і U---JT
(6.59)
F214 =
со rc
Следовательно, ®<2)(4) 0» ш(1)(4) =
со
с
Y2 ^ dx^ + ^LdxW j Ф 0, (6.60)
с*)
= y\xdxx ф О, CO14 = O.
(6.61)
Эти соотношения показывают, что движение по второй оси глобальной координатной системы в системе локальной разлагается на движение по касательной к окружности и падение на центр вращения.
6.5. «Ускоренные системы координат». Координаты являются произвольными числами, задаваемыми для упорядочения точек в пространстве — времени. Они могут быть подвергнуты общим координатным преобразованиям. Представление о системах отсчета, в общем случае неинерциальных, связано с движением. Преобразование систем отсчета при их
7. Иваницкая О. С.
97 реперном определении является локальным лоренцевым преобразованием. Таким образом, вообще говоря, координатное преобразование и преобразование систем отсчета независимы. Однако с данным локальным лоренцевым преобразованием могут быть приведены в соответствие некоторые координатные системы, если коэффициенты координатного преобразования представлены в виде
д^' = Pwv= HwikyLikyr (X*) Av'. (6.62)
В этом смысле можно говорить о представлении координатного преобразования в форме локальных преобразований Лоренца.
Задавая в уравнениях (6.62) различные локальные ло-ренцевы преобразования и рассматривая эти уравнения как дифференциальные, найдем из них различные координаты х»'. Так по определению могут быть введены «ускоренные координаты». В зависимости от того, соблюдаются ли условия интегрируемости системы (6.62), координаты х»\ удовлетворяющие этой системе, будут голономными или неголо-номными. Например, подставляя в (6.62) локальное лоренцево преобразование (6.23), получим меллеровские равноускоренные координаты. Выбирая в (6.62) лоренцево преобразование в виде (6.45), придем к «вращающимся координатам» и т. д. Рассмотрим эти примеры детальнее.
