Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
6*
83 ностью. В каждой данной точке dxW может быть подвергнуто обобщенному лоренцеву преобразованию, dx не может.
Рассмотрим частный случай неголономного лоренцева преобразования, когда оно зависит только от четвертой координаты— времени. Тогда:
т. е.
QJLk-W = о, a4w Of ? = i>(X*)/c,
—-L _1
L4W = ( 1 —?2) 2, L4<fl>=?(X4)(l-?2) 2,
dt
Q(4>a4 = "2Г If L°(4) * Q(a>b4 = T Wb) *
(6.3)
(6.4)
Следовательно, в этом случае дифференциалы локальных псевдодекартовых координат относительно контуров, лежащих В трехмерном пространстве, ЯВЛЯЮТСЯ ПОЛНЫМИ, НО OTHO' сительно контуров, расположенных в пространственно-временных гиперповерхностях, неполными. С помощью (6.3) вычислим
2Q<4>q4 =
= -^=( VT=F+^M' (6-5)
1 1 —?2\ с су 1 _?2 I
va =
Когда VbVb == 0 или i>6u6 = UaDfl (суммация по b производится, а — фиксированный индекс), соответственно приходим к уравнениям движения с продольной и поперечной массами:
= 2mc2Q(4)a4, -tnv^— = 2mc2Q(4)o4. (6.6)
, r=?* (l-?2)3/2
Отсюда видно, что 2й(4)а4 — плотность «классической» или «мировой» силы. В [266] упомянуто, что она обладает сложными трансформационными свойствами. В электродинамике, например, имеем
HXk
Famcc ~ <ГЕак = 2?(4)^ (6'7)
* 1
где dt=—dXA. Поскольку голономная система предполага-с
ется произвольной, но заданной, индекс (4) отброшен как не относящийся к глобальной системе координат. В результате такого упрощения й(4)а4 рассматривается как вектор относи- тельно голономных преобразований Лоренца, применяемых к глобальной координатной системе.
Связь мировой силы с силой Минковского — результат «перелицовки» индекса 4 (нижнего) у рассматриваемой компоненты объекта неголономности:
Q(4U) = LkwQWrt = LbwQwab + LiwQWai. (6.8)
Например, в электродинамике имеем
F —F — 9Q(4) -/4^F
1 а рсл л а минк ^iatl о4 x^ (4г а класс*
Связь силы с объектом неголономности в криволинейной системе применительно к ОТО рассматривалась в [267].
Рассмотрим компоненту Q(4)(4)4 и «перелицуем» в ней второй индекс:
Q(4)(4,4 = ^wQwki = LawQwai = 2(1^)|/2, (6.9)
Т. е. 2й^(4)4//72 — плотность мощности. Выполненный явно учет неголономности лоренцева преобразования, лежащего в основе уравнений движения динамики СТО (без Xk), автоматически вскрывает неполноту дифференциала собственного времени.
В динамике СТО возможны два следующих варианта предельного перехода. Рассмотрим предельный случай соотношений (6.3) — (6.4), заменив предварительно X4 = Ct на Xа=t. Тогда в силу (5.40) и (5.41) в пределе имеем соотношения
Iim QWo4 = ±А- Gw = 0, Hm Qw (4)4 = 0,
С->00 2 Ul С-*-со
Iim dxw = Gi wdX * = dX* , (6'10)
C-* oo
выражающие требование абсолютной одновременности.
При таком подходе рассмотрение объекта неголономности не может привести к уравнениям движения, поскольку все его компоненты равны нулю. В этом смысле ньютонова концепция с ее абсолютным временем не приводит к геометрическому истолкованию силы. Наоборот, если геометрическое истолкование силы принято (введением неголономного локального времени), то предельный переход от локального времени к абсолютному, пока силы отличны от нуля, исключается. Тогда в пределе уравнения (6.6) при предварительной замене Xа = ct на X4 = t переходят в уравнения классической динамики в ее геометрической трактовке [21].
Рассмотрим другим путем связь закономерностей динамики СТО с объектами неголономности, детализируя известный
85 переход от уравнений движения в форме Минковского к уравнениям движения относительно лабораторной системы отсчета, но не отбрасывая тензорной размерности локального времени. Это позволяет оформить специфику собственного времени и обобщенного лоренцева преобразования, содержащегося в уравнениях динамики СТО, современными математическими средствами, а также естественно указывает на общий путь к уравнению движения динамики в форме, сохраняющей массу покоя, но переопределяющей силу (сила с «эквивалентным потенциалом» [268—271]).
Предварительно рассмотрим вспомогательное соотношение:
(Izf1W
где одна из компонент смешанного (локально-глобального) тен-dXa
зора иа(4) ==- является скоростью. Перейдем в (6.11) к диф-
di
ференцированию по глобальным координатам и перелицуем тензор uw(n) в полностью «мировой» тензор. Тогда
LkM -^r (Lr^tTr) ^ Fm. (6.12)
Перелицовка производных и тензора Vm^ осуществляется обобщенным лоренцевым преобразованием, один индекс которого относится к глобальной, другой — к неголономной псевдодекартовой системам координат. Дальнейшее рассмотрение (6.12) может привести или к уравнениям движения с динамической массой, или к уравнениям, в которых релятивистская поправка включена в силу.
Во-первых, ограничимся в (6.12) производными лишь по временным локальным и глобальным координатам. Тогда, присоединив компоненту обобщенного лоренцева преобразования L4(4) к массе покоя, приходим к уравнению движения относительно лабораторной системы:
L\*)-^(mL4<«e«) = m/* (6.13)
Если изучается лишь одна мировая линия, неголономный характер собственного времени не проявляется. Сравнение же двух мировых линий выявляет эту неголономность.
