Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Detzvv = O. • (5.59)
Аналогично
Iim ^v = Iim h\h\gkn = H\H\Nkn == JVliv= H\H\Nab, (5.60)
с-* оо c-* oo
откуда следует, что, вообще говоря,
DetATVO. (5.61)
Таким образом, имеет место лишь частичное вырождение тензориальных компонент метрического тензора — в пределе с->оо вырождаются лишь его ковариантные тензориальные компоненты. При этом все компоненты и ковариантные и контровариантные могут быть отличными от нуля. В общем случае ранги матриц метрических тензоров и вырожденных метрических тензоров, т. е. g?V и Aipiv, а также Tizi71 и nkn, не совпадают.
Десять компонент метрического тензора nllv, как видно из (5.58), выражаются через 4 компоненты тетрад #ц(4), т. е. рассматривая (5.58) как систему уравнений относительно неиз-
78 вестных тетрад Н^А\ видим, что она переопределена. Наоборот, система 10 уравнений (5.60) относительно 12 тетрад H^1a недоопределена.
Поскольку метрические тензоры №v и ахI^v галилейинвари-антны, тетрады H^J1 и H^kl могут быть, подвергнуты обобщенному, зависящему от координат галилееву преобразованию. Хотя в пределе при оочисло параметров сохраняется и обобщенное галилеево преобразование остается 6-параметри-ческим, число калибровочных условий меняется. Это вызвано вырождением метрического тензора Фридрихса gkn- Действительно,
N?v = H*k'HVn'Nk'n' = GkSGn-sHl1rH\Nk'n' =
= GaSGb-dHllcHvdNa'0' - inv. (5.62)
Эти соотношения, поскольку в них входят лишь три параметра обобщенного галилеева преобразования (вращение в трехмерной части пространства), требуют введения только 3 калибровочных условия для 12 коэффициентов Ламэ H^xc. Хотя эти условия связаны лишь с круговым вращением, они в равной мере могут быть и «временной» калибровкой (условием, накладываемым на #4С), и калибровкой «пространственной» (накладываемой на Hac). Однако добавление трех калибровочных условий к уравнениям (5.60) делают систему уравнений переопределенной.
Несколько иным образом влияет вырождение метрики на обратные относительно Hixk коэффициенты Ламэ. Действительно, соотношение
Hilv = Н*Н«-Пк-п- = G(4)'(4)G(4),(4)#д(4)Я^4)/1(4) '(4)' (5.63)
вовсе не вносит калибровочных условий для тетрад. Таким образом, при с->оо калибровочные условия вырождаются и не могут устранить переопределенности системы уравнений (5.58).
По определению обратных тетрад они могут быть найдены из соотношений Hsx11 Hvn=Skn. В строгом случае их также можно найти с помощью метрического тензора. В пределе с->ооэти два способа несовместимы. Действительно, используя метрический тензор, находим
HW = ^yNWHiV = 0. (5.64)
С другой стороны,
Н^Н»а - 6<4>e - + #4<4>#4а = 0, (5.65)
откуда следует, что, вообще говоря, Н^ФО.
Метрический тензор в СТО устанавливает связь между контро- и ковариантными величинами однооднозначно. Если
79 метрический тензор вырождается, однооднозначной связи не существует.
Другой способ связи контро- и ковариантных величин в СТО посредством 4-вектора (мультивектора) в принципе не требует обязательной однозначности, так как полностью антисимметричный 4-вектор подвержен «скашиванию». С ним могут быть приведены в соответствие различно деформированные (деформация сдвига) единичные объемы. В силу этого в пределе с -^оо4-вектор становится галилейнвариантным без вырождения:
e(i)'<2)'<3)'<4)' == GWhGWnGWmGW ^nml = inv,
(5.66)
Є(1)'(2)'(3)'(4)' = ІПУ.
Что касается дискриминантного тензора, т. е. є1234 = I^ge 1234, то в пределе с->оо в некоторых случаях, например, в силу (5.59), он может вырождаться. Очевидно это поведет к соответствующему вырождению операции дуальности применительно к тензориальным компонентам дуальных тензоров. Операция дуальности, определенная с помощью (5.66), не вырождается. Поэтому вырождение лоренцева преобразования в бивекторной параметризации может быть рассмотрено с использованием критерия оо.
5.6. Вырождение метрического тензора по Хавасу (второй критерий вырождения). Требование галилейинвариантности каждой из компонент вырожденного метрического тензора обеспечивает интересную аналогию предельного и строгого случаев СТО, где каждая компонента метрического тензора ло-ренцинвариантна. Однако галилейинвариантный вырожденный метрический тензор Фридрихса охватывает метрические свойства геометрии трехмерной части пространства весьма ограниченно — только с помощью контровариантных компонент метрического тензора Nab, так как паъ = 0. Это соответствует измерению длин радарным методом посылкой сигналов, распространяющихся с бесконечной скоростью. Прост-ранственноподобные неизотропные векторы выпадают из теории.
Чтобы избежать этого, можно ввести предельный метрический тензор, как это сделано Хавасом [260], определив его вторым критерием вырождения — требованием, чтобы только пространственные его компоненты были галилейинвариант-ными. Следуя [260], обозначим ковариантные компоненты такого метрического тензора через kmn, за контровариантными сохраним обозначение Nkn. Тогда по Хавасу требуется, чтобы Na>b> = Ga\Gb,nNkn = inv,
(5.67)
ka'b' = Ga>kGb>nkhn = inv.
