Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
80 Отсюда следует:
NW = NMa = 0, Nab = diag (1, If 1) = inv, (5.68)
Aeb = diag(l, 1, 1) = inv,
?(4)-(4)' = G(4)'aG(4)'^ab inv, (5.69)
= &(4)'a = G{AyrGa'Skr8 Ф inv,
т. е. метрический тензор по Хавасу недиагонален.
Частично галилейинвариантный метрический тензор kmn и Nmn позволяет полностью охватить предельные метрические свойства геометрии трехмерной части пространства, а также сохранить для трехмерного интервала четырехмерную форму [260]:
dt2 =kmndxmdxn = Nr%mksndxmdxn. (5.70)
Связь между Nkn и kmn в отличие от (5.52) осуществляется соотношением
N^km rkns~kri. (5.71)
При этом
NcdKb = но Nr%q ф 6* . (5.72) Если в первоначальной системе, в частности, принято
Kk = 0, GaS = 6*-, Kk = N4kikkjk = О, (5.73) что не обязательно, то
ка'(4У = Vak, ?(4)-(4)' = У2, (5.74)
где u — скорость. С обобщением галилеевых преобразований на зависимость от координат функциями координат становятся и компоненты ?(4)'(4)' и &а'(4)'. Контровариантные тензориальные компоненты метрического тензора при этом совпадают с (5.60). Они одинаковы при обоих критериях вырождения. Ковариантные отличаются от (5.58):
^v - HJHJkij = я/>я/>*(41(4) + +
+ H^HVkaw + Hll-HJkab. (5.75)
Вообще говоря,
Det Kiv =/=¦ 0. (5.76)
Десять уравнений (5.75) содержат 16 тетрад. Однако в общем случае их нельзя дополнить калибровочными условиями: в силу (5.69) Kx неинвариантен относительно галилеевых преобразований, совершаемых над содержащимися в Kx тетрадами и тензором krs. В частности,
К, = Hac'H*%-d- = &'h&'nHakH^kc.d. = inv. (5.77)
6. Иваницкая О. С. . 81 Это соотношение включает в себя все 6 параметров галилеева преобразования, т. е. приводит к 6 калибровочным условиям. Следовательно, при втором критерии вырождения задание 6 компонент ?ct? и, следовательно, 6 уравнений (5.77) вместе с 6 калибровочными условиями позволяет определить все 16 компонент обратных тетрад ЯД
5.7. Обобщенное бесконечно малое галилеево преобразование. Это преобразование является предельным случаем обобщенного бесконечно малого преобразования Лоренца. По определению [263—265]:
Iim(Yfen^x). (5.78)
C-* оо
Wft"= Iim(YftW)
при условии Отсюда следует
Iimco0W = Iimcowa = 0.
C-* оо C-* оо
(5.79)
(5.80)
Ya (4\dx* = YwW = о, Yknii = Iim-Yknfc.
c-* 00
Коль скоро это соотношение справедливо при любых dxx, то
Ya = Yw0X = 0, (5.81)
т. е. б. м. обобщенное галилеево преобразование имеет вид:
ю°ь = Tbydxx = YabA4 + УъЛ* .
(5.82)
O>fl<4) = Г (4) A4 + Ya(4)(^ .
«
Поскольку именно смешанные компоненты коэффициентов вращения Риччи входят в обобщенные лоренцевы, а следовательно, и галилеевы преобразования, они являются исходными. Существование ко- и контровариантных компонент этих коэффициентов зависит от принятого метрического тензора:
Г(4\ = W(4)(4)Ya<4)fc = 0, Ф О,
(5.83)
Ya(4)fc = Kbtwk Ф 0, Yabfc = KcY.m. J= 0.
82
Ya(4)fc = "ab Y6(4)fc = 0. Yabfc = "acY'bfc = 0. § 6. ЛОКАЛЬНЫЕ ЛОРЕНЦЕВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ
ПЛОСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ
6.1. Неголономные лоренцевы преобразования в динамике СТО. Пусть в точках мировой линии ускоренно движущегося тела заданы локальные псевдодекартовы системы координат (dxW). Пусть также задана глобальная голоном-ная псевдодекартова система (Xr). Метрические тензоры этих систем одинаковы, но они инвариантны относительно различных лоренцевых преобразований: Tjfen—относительно постоянных и, следовательно, голономных лоренцевых преобразований, т]<ь)(п) — относительно обобщенных, зависящих от координат и, таким образом, неголономных лоренцевых преобразований. Вероятно, по историческим причинам (в период создания СТО Эйнштейном и Минковским аппарат неголономных дифференциальных геометрий еще не получил достаточного развития) в динамику СТО эти два вида лоренцевых преобразований вошли несколько неравноправно. Главное внимание уделялось ковариантности относительно преобразований глобальных координатных систем. Это условие ковариантности потребовало явного фиксирования трансформационных размерностей используемых величин относительно голономного лоренцева преобразования. Что касается трансформационных размерностей величин относительно преобразования локальных псевдодекартовых систем, то они учитывались не явно и не полностью. Тем самым оказались упущенными математические возможности явно ввести объекты неголономности и с их помощью в строгой математической форме выразить неголономность локального, собственного времени и следствия этой неголономности. Распространенное выражение «инвариантное время dx» понимается в смысле инвариантности относительно глобальной системы. Следует, однако, учитывать, что четырехмерный интервал записывается двояко:
ds2 = r\hndXkdX» = тkh)MdxMdxW. (6.1)
Некоторые из перемещений dXk и dx{n) могут равняться нулю. В частности:
ds2 * Т](4)(4)dxWdxW, ?&<«> = О,
(6-2)
ds\dxa=0 ^dxtdxW.
В этом случае значения дифференциалов интервала и локального времени равны, что, однако, не отождествляет их пол-
