Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
— Яс 4
. —4 0
q_kn A
— Qo — іЯс
Чс 0
(4.51)
При этом ни (q+kn), ни (q„kn) не совпадают с матрицами q+
*
и q_, введенными в [241], поскольку последние отнесены к пространству Минковского с мнимой временной осью. Переход к таким матрицам дает унитарное преобразование:
"ftAiW+
1 0
0 і
Я+
1 Al 1I LL 0
0 ' J Io —і
Аналогично
«Л«?-" =
-Яс Яс
-Яс 0
(1 0
Io і
* —ЯС * Яс
* 0
Яс
) = (<7+).
= Qc = aC —^c-
= (?_). (4.52)
(4.53)
(4.54)
60 Используя унитарное преобразование и (4.51), можем привести лоренцево преобразование (4.48) к виду
Iq = JL (i + 9+)(1 + ?-)> Ч = а 4 Af (4.55)
Д
предложенному в [241].
Проведенный геометрический анализ вскрывает трансформационные свойства матриц (q+) и (qj и вектор-параметра q+ относительно линейного преобразования лоренцева базиса. Эти свойства сложны, нипример,
Рс4 = —К = LcaUbPab + LcaLfPab + WP4a, (4-56)
штрихом обозначены величины в новой системе отсчета, т. е., вообще говоря, каждый из векторов а' и Ь' является функцией и а и b. В частном случае одномерного движения или однопа-раметрического трехмерного вращения, как легко убедиться,
Ь'с = bCJ a'c = ac, (4.57)
хотя
Ъ'фЪ, а' Ф а. (4.58)
Векторы Ь' и а' и векторы b и а лежат в различных собственных пространствах.
Таким образом, конечное 6-параметрическое лоренцево преобразование может иметь параметрами или один непростой бивек-тор Pkn или два само- и антидуальных бивектора q+kn и q_kn.
В первом случае J1 Ф І2і во втором — ii+ = і2+ и = — і2-> но»
*
вообще говоря, і+ Ф L = i+. В частности, для простых параметров = i_ = 2 i2.
4.4. Общий подход к введению бивекторной параметризации. Возможен общий подход к введению бивекторной параметризации, открывающий множество ее различных форм. Развитый выше случай бивекторной параметризации является следствием некоторых частных условий.
Принятый в (4.2) вариант операции дуальности не единственный. Следуя [243, 248, 249], используем второй вариант дискриминантного тензора и соответствующей D-операции, удобных для дальнейшего, при которых введение самодуальных и антидуальных тензоров невозможно не только для отдельного тензора, но и для их суммы или разности:
-JL
T]1234=(-ri) 2E1234 = + !, Ti = Detrihn,
Tlftn = diag(l, 1, 1, —1), (4.59)
"Л1234 = T)lftT)2nTbTl4sTl*nrS = -1.
61 Тогда
Vn = I-^lL-). (4.60)
-Pc4I pab
— pab J 0
Двойное применение операции дуальности в смысле (4.59) меняет знак тензора на обратный:
DDpkn^ __pknt (4.61)
В этом случае
D(phn ± °Рш) = DPhn + Pm- (4.62)
Для перехода от четырехмерных величин к трехмерным вновь примем (4.23). Ввиду изменения определения D-операции изменится и правило перехода (4.24):
V4 = dPc4= + ?. (4.63)
поэтому
Pkn= ( —--— ]. (4.64)
— bc -CLc
CLc 0
Пользуясь (4.59), легко показать, что между различными свертками компонент бивектора имеют место следующие связи:
PkmPmn = - hK + DPkm °РПт,
Pas0?" = 0PmsPsn=-^hW-
(4.65)
Аналогично получаем соотношения:
PkmPmnPnr = — hPkr — — iI DPhn
PkmPmn DPnr=—Y * iPkn Pkm0Pmn DPnr = - Y*1 Phr,
0Pkm0Pmn0Pnr = HPkr--]rhPkn
Pkm0PmnPnr=--^h Pkr-
(4.66)
При изучении векторной параметризации с параметрами — компонентами двух единичных векторов в [240] исходят из пред-
62 ставлення коэффициентов лоренцева преобразования в виде полинома от компонент векторов:
Lkn = а^рп + bpkpn + cpkpn + dpkpn + ?kn. (4.67) 11 12 2 1 2 2
Естественно аналогично подойти и к рассмотрению бивекторной параметризации, записав общее представление Lkn в виде полинома от бивектор-параметра, как сделано в [250]:
Lkn = а&л + bpkn + C0Pkn + dpkrprn. (4.68)
Свертки D Pkr0Pm и nPkrPrn отдельно не включены в (4.68) в силу соотношений (4.65). Из (4.68) и условий LknLk = вытекают два уравнения, связывающие коэффициенты разложения:
а2 — сЧ2 + bei 4 —— d4{2 = 1, 4
(4.69)
2ad — b2 — с2 — d2i2 = 0.
Эти уравнения определяют два коэффициента в полиноме (4.68). Два остальных коэффициента остаются произвольными, что приводит к различным вариантам бивекторной параметризации. В частности, если
с = 0, b = d, (4.70)
то из (4.69) и (4.68) следует:
2 а д , 1 -M2
Ь = d = -, а = -Ь
1+?
1
[(1 + учч2]2
(4.71)
Lkn= ~ [(1 + Q 8*„ + 2 (pfcn + pkm pmh)]. А
В этом случае для простого бивектора имеем
Lkn = б *„ + -fr (Pfcn + Pfcm pm„). (4.72)
1+ »2
Нетрудно убедиться, что при а>0 условия (4.87), приводящие к (4.71), соответствуют параметризации с комплексным вектор-параметром. Если
с = 0, d — 2а, (4.73)
то из (4.68)-(4.69) находим:
±1_
а — —~ " . 6 =
VI+if ' VI+if *
(4.74)
Lkn = -L= (±6*„ + 2 Vl=T2 Pkn ± 2PkrPrn).
У1 + if
63 При г2 = О выражения (4.71) и (4.74) совпадают. Наконец, рассмотрим еще один частный случай:
a = b = с = d. (4.75)
Из (4.68)-(4.69) и (4.75) получаем
а== fZ=O.
А
(4.76)
Lkn = а (8*„ + р\ + V» + pkrprny
Этот вариант бивекторной параметризации совпадает с рассмотренным в [247], где условия (4.75) сформулированы в более общем виде — в виде требования частичной самодуальности бивектор-параметра: самодуальности его пространственно-временных компонент:
