Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Иваницкая О.С. -> "Обобщенные преобразования Лоренца и их применение" -> 26

Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.

Иваницкая О.С. Обобщенные преобразования Лоренца и их применение — Мн.: Наука и техника, 1969. — 229 c.
Скачать (прямая ссылка): obobsheniepreobrazovaniya1969.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 75 >> Следующая


поненты Xk ковариантного вектора х. Векторы eh и х геометрически задаются парами гиперплоскостей, т. е.

X=XhGk=Im1 x=xkeh = \n\. (5.42)

—>¦ ->

В пределе (рис. 2) имеем:

-> ->

Iime4, = Iim Lfek = е4, = е4+ Vea Ф е4,

(7.45)

Iimefl, = IimLflZeft = efl, = єа.

74 Следовательно:

lim X4's I*' = Iі, lim xa' = Iа' = Ia- VaI4,

C-+ oo C-* oo

lim X = I = lkeh = inv.

Рис. 2

Рис. З

Аналогично (рис. 3)

lim ev = є4' = s4, еа' = уеа + Y^e4

Iim = еа + U°64 == єа' =^ 8а,

(5.44)

(7.45)

75 т. е. в пределе 3-мерные ковариантные векторы задаются гиперповерхностями 4-мерного пространства, а не плоскостями 3-мер-ного. Из (5.42) находим (рис. 3)

Iimx = ? =S4- Xfila ф Ik,

с-* о»

(5.46)

Iimx1. а 5,. = glf

C-* OO

Iimx = I = IkEk = inv,

С—>oo -»

причем все четыре вектора Ek и, вообще говоря, все компоненты

координат Ik отличны от нуля. Для скалярного произведения (свертывания) имеем

lim XX = = IkInEk-En = inv,

C-* OO

(5.47)

lim eft,-e"' = ek,-en' = б.,"'.

с-* oo -* ->

5.4. Галилей-инвариантная метрика Фридрихса. Выбор в качестве репера хронометрических тетрадных векторов позволяет найти следующие предельные значения метрического тензора СТО, которые оказываются лоренцинвариантными. Из (5.33) и (5.36) находим:

Skn = Sfe-Srt = hkrhnsx]rs = diag (-\ , 9 —г ' — 1

с"

gkn == hkrhnsv[s =* diag ^ 1, 1, 1, --^J

(5.48).

где по определению

ftnfiT = 4 6m^ (5-49)

C2

т. е. хронотетрада Sfe в отличие от efe не является полностью нормированной на единицу. Метрический тензор r\kn = efe-en инвариантен относительно лоренцевых преобразований с матрицей (5.39), симметричной относительно диагонали, метрический тензор gkrt, образованный из хронотетрады, — относительно преобразований с несимметричной матрицей (5.40).

Переходя к пределу в (5.48) и (5.49), получаем вырожденный галилейинвариантный метрический тензор Фридрихса [258]:

Iim gkn = rikn = diag (О, О, 0, — 1),

с-* OO

(5.50)

nk'n' = Gk-rQn'nrs = inv, Detoftn = О, lim g*" = Nkn = diag (1, 1, 1, 0), Det Nkn = 0, (5.51)

Nk'n> = Qk'fin'flrs = inv>

HknNnm = 0.

(5.52)

Последнее соотношение показывает, что в пределе метрический тензор СТО становится сингулярным. Из (5.50) следует, что в плоском пространстве для любых пар точек пространственная часть интервала равна нулю:

S2Uonst = nabl*V = 0. (5.53)

Такое выпадение из теории трехмерных эвклидовых соотношений является следствием радарного способа измерения расстояний бесконечно быстрым сигналом.

Уравнение метрической гиперповерхности r\kndXkdXn = = —c2ds2 с переходом к метрике gun принимает вид

gabdXadXb — dt2=— dXadXb — dt2 = — ds2. (5.54)

C2

Отсюда следует, что в пределе метрическая гиперповерхность совпадает с трехмерным подпространством и что изотропные векторы располагаются в этом трехмерном абсолютном пространстве.

Итак, компоненты gab обращаются в пределе в нули, поскольку при с—>оо обращаются в нули, согласно (5. 38), векторы sa.

К вырожденной метрике можно прийти несколько иным путем, как указано в [261], отправляясь от линейных соотношений (5.43), т .е. от несимметричных относительно диагонали лоренцевых преобразований и тетрады ek. Применяя галилеевы преобразования к скалярным произведениям предельных значений тетрадных векторов находим:

Iim е4, • е4, = Є4, • е4, = е4. Є4 + VaVbEa • Eb + VaEa • е4,

с->*оа 4

Iim efl,-efe, = Ga-4GHe4 -є4+ Ga'CGb'dEc -Ed ,

с-*- оо 4 4

(5.55)

где символом 4 отмечено, что скалярное произведение трехмерных векторов определено как операция в 4-пространстве. Отсюда вытекает, что единственная галилейинвариантная, не зависящая от скорости нормировка тетрад имеет вид:

е4-е4= — 1. = 0, Ta-Eb = 0 (5.56)

4

при любых, в том числе и одинаковых, значениях а и Ь.

77 Следовательно, галилейинвариантный метрический тензор Фридрихса может быть представлен в виде скалярного произведения

Чп =Х'^п = diag (0, 0, 0, - 1) (5.57)

если в состав тетрады входит временноподобный вектор, нормированный на единицу, а трехмерные векторы изотропные. Как видно из (5.56), любые временноподобные векторы — 84, г\, г'\ и т. д.—ортогональны изотропным векторам —>

єа, лежащим в трехмерном пространстве. Поскольку в (5.57) входят лишь пространственноподобные изотропные векторы, в этом виде метрика Фридрихса не охватывает трехмерных соотношений эвклидовой геометрии.

5.5. Частичное вырождение тензориальных компонент метрического тензора. Вырождение тетрад. Если в пространстве СТО задана криволинейная система координат, метрический тензор приобретает тензориальные компоненты g^v. Прис->оо эти компоненты также вырождаются, поскольку они становятся выраженными через метрический тензор, вырожденный по Фридрихсу — Hkri1 который теперь вводится локально. Действительно, в силу (5.57)

Iim ^v = Hm KkKngkn = HllkHfnhn = п^ = H ^H ^nwih (5.58)

C-* OO С—>30

Принимая тетрады конечными и вычисляя с помощью (5.58) детерминант матрицы тензора убеждаемся, что метрический тензор Iiliv сингулярен:
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 75 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed