Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
поненты Xk ковариантного вектора х. Векторы eh и х геометрически задаются парами гиперплоскостей, т. е.
X=XhGk=Im1 x=xkeh = \n\. (5.42)
—>¦ ->
В пределе (рис. 2) имеем:
-> ->
Iime4, = Iim Lfek = е4, = е4+ Vea Ф е4,
(7.45)
Iimefl, = IimLflZeft = efl, = єа.
74Следовательно:
lim X4's I*' = Iі, lim xa' = Iа' = Ia- VaI4,
C-+ oo C-* oo
lim X = I = lkeh = inv.
Рис. 2
Рис. З
Аналогично (рис. 3)
lim ev = є4' = s4, еа' = уеа + Y^e4
Iim = еа + U°64 == єа' =^ 8а,
(5.44)
(7.45)
75т. е. в пределе 3-мерные ковариантные векторы задаются гиперповерхностями 4-мерного пространства, а не плоскостями 3-мер-ного. Из (5.42) находим (рис. 3)
Iimx = ? =S4- Xfila ф Ik,
с-* о»
(5.46)
Iimx1. а 5,. = glf
C-* OO
Iimx = I = IkEk = inv,
С—>oo -»
причем все четыре вектора Ek и, вообще говоря, все компоненты
координат Ik отличны от нуля. Для скалярного произведения (свертывания) имеем
lim XX = = IkInEk-En = inv,
C-* OO
(5.47)
lim eft,-e"' = ek,-en' = б.,"'.
с-* oo -* ->
5.4. Галилей-инвариантная метрика Фридрихса. Выбор в качестве репера хронометрических тетрадных векторов позволяет найти следующие предельные значения метрического тензора СТО, которые оказываются лоренцинвариантными. Из (5.33) и (5.36) находим:
Skn = Sfe-Srt = hkrhnsx]rs = diag (-\ , 9 —г ' — 1
с"
gkn == hkrhnsv[s =* diag ^ 1, 1, 1, --^J
(5.48).
где по определению
ftnfiT = 4 6m^ (5-49)
C2
т. е. хронотетрада Sfe в отличие от efe не является полностью нормированной на единицу. Метрический тензор r\kn = efe-en инвариантен относительно лоренцевых преобразований с матрицей (5.39), симметричной относительно диагонали, метрический тензор gkrt, образованный из хронотетрады, — относительно преобразований с несимметричной матрицей (5.40).
Переходя к пределу в (5.48) и (5.49), получаем вырожденный галилейинвариантный метрический тензор Фридрихса [258]:
Iim gkn = rikn = diag (О, О, 0, — 1),
с-* OO
(5.50)
nk'n' = Gk-rQn'nrs = inv, Detoftn = О,lim g*" = Nkn = diag (1, 1, 1, 0), Det Nkn = 0, (5.51)
Nk'n> = Qk'fin'flrs = inv>
HknNnm = 0.
(5.52)
Последнее соотношение показывает, что в пределе метрический тензор СТО становится сингулярным. Из (5.50) следует, что в плоском пространстве для любых пар точек пространственная часть интервала равна нулю:
S2Uonst = nabl*V = 0. (5.53)
Такое выпадение из теории трехмерных эвклидовых соотношений является следствием радарного способа измерения расстояний бесконечно быстрым сигналом.
Уравнение метрической гиперповерхности r\kndXkdXn = = —c2ds2 с переходом к метрике gun принимает вид
gabdXadXb — dt2=— dXadXb — dt2 = — ds2. (5.54)
C2
Отсюда следует, что в пределе метрическая гиперповерхность совпадает с трехмерным подпространством и что изотропные векторы располагаются в этом трехмерном абсолютном пространстве.
Итак, компоненты gab обращаются в пределе в нули, поскольку при с—>оо обращаются в нули, согласно (5. 38), векторы sa.
К вырожденной метрике можно прийти несколько иным путем, как указано в [261], отправляясь от линейных соотношений (5.43), т .е. от несимметричных относительно диагонали лоренцевых преобразований и тетрады ek. Применяя галилеевы преобразования к скалярным произведениям предельных значений тетрадных векторов находим:
Iim е4, • е4, = Є4, • е4, = е4. Є4 + VaVbEa • Eb + VaEa • е4,
с->*оа 4
Iim efl,-efe, = Ga-4GHe4 -є4+ Ga'CGb'dEc -Ed ,
с-*- оо 4 4
(5.55)
где символом 4 отмечено, что скалярное произведение трехмерных векторов определено как операция в 4-пространстве. Отсюда вытекает, что единственная галилейинвариантная, не зависящая от скорости нормировка тетрад имеет вид:
е4-е4= — 1. = 0, Ta-Eb = 0 (5.56)
4
при любых, в том числе и одинаковых, значениях а и Ь.
77Следовательно, галилейинвариантный метрический тензор Фридрихса может быть представлен в виде скалярного произведения
Чп =Х'^п = diag (0, 0, 0, - 1) (5.57)
если в состав тетрады входит временноподобный вектор, нормированный на единицу, а трехмерные векторы изотропные. Как видно из (5.56), любые временноподобные векторы — 84, г\, г'\ и т. д.—ортогональны изотропным векторам —>
єа, лежащим в трехмерном пространстве. Поскольку в (5.57) входят лишь пространственноподобные изотропные векторы, в этом виде метрика Фридрихса не охватывает трехмерных соотношений эвклидовой геометрии.
5.5. Частичное вырождение тензориальных компонент метрического тензора. Вырождение тетрад. Если в пространстве СТО задана криволинейная система координат, метрический тензор приобретает тензориальные компоненты g^v. Прис->оо эти компоненты также вырождаются, поскольку они становятся выраженными через метрический тензор, вырожденный по Фридрихсу — Hkri1 который теперь вводится локально. Действительно, в силу (5.57)
Iim ^v = Hm KkKngkn = HllkHfnhn = п^ = H ^H ^nwih (5.58)
C-* OO С—>30
Принимая тетрады конечными и вычисляя с помощью (5.58) детерминант матрицы тензора убеждаемся, что метрический тензор Iiliv сингулярен: