Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
, . / rcho Tsho\ , /ІЧ /J4
( sh 0 che)' (5'28)
Локальные псевдодекартовы системы, установленные с помощью (5.28), очевидно, будут голономными — частями
Рис. 1
глобальной декартовой системы координат. Подвергнем их обобщенному лоренцеву преобразованию
che she she che
принимая параметр-быстроту Є переменным. Тогда
т О
/ che she \ к \ she che / '
(5.29)
Ул) = Lb^Kk =
ft _ / т 0 w — \ 0 1
(5.30)
После преобразования локальные псевдодекартовы системы становятся неголономными:
^14 = 4" ' Й<1)'<»'<4)' = ' fi(4>'" = (5'31)
71 Четвертая преобразованная локальная координата остается голономной:
dxW = h^'dx* = dx, (5.32)
дифференциал собственного времени полным, но первая координата
dxW = h^Ydx» = xde
неголономна.
Обобщенное лоренцево преобразование (5.29) индуцирует б.м. преобразование
W(4)(l) = Y(4)(l)i
Сведения о коэффициенте вращения Риччи могут быть найдены из условий псевдоэвклидовости пространства Минковского
#(1)(4)14
и условий симметрии «мира Минковского»
^i Y (4)(1)4 =
Локальные лоренцевы преобразования (5.17) и (5.29) обычно специально не рассматриваются, а скорее подразумеваются, поскольку чаще носят вспомогательный характер. Однако они составляют основу более общих лоренцевых преобразований, вводимых в динамике СТО, в релятивистской теории вращения и в общей теории относительности.
5.3. Хронотетрада и ее вырождение. В СТО есть несколько основных возможностей выбора именованных ортонормированных базисных векторов, предполагающих использование радарного метода измерения.
В хронометрической трактовке СТО [23, 246] все четыре тетрадных вектора, обозначим их Sk (хронотетрада), имеют одинаковую размерность (времени). Исходным является s4. Векторы sa производные. Они выбираются так, чтобы измеренные ими длины численно равнялись времени распространения вдоль этих длин светового сигнала (радарный способ измерения длин).
Во второй трактовке СТО, которую можно назвать хора-метрической («хора» — место), все четыре тетрадных вектора, обозначим их имеют одинаковую размерность (длины). Производным является вектор т4. Он выбирается так, чтобы измеренное им время численно равнялось длине, пройденной за это время световым сигналом, например световой год в астрономии Координаты 4-мерных векторов относительно репера Sh и тпк — числа неименованные.
72 Третья возможность выбора тетрадных векторов СТО, введем для них коллективное обозначение eft, такова, что е4 имеет размерность времени, векторы еа — размерность длины. Координаты векторов относительно репера ек — именованные числа.
Разложим тетрадные векторы одного вида по тетрадным векторам другого вида. Коэффициенты разложения, которые также можно рассматривать, как коэффициенты Ламэ, не зависят от координат и лишь преобразуют размерности тетрадных векторов. Тогда соответственно имеем:
1
A * = ¦
6*
Sft = Кп*п, Kn =
О
V
6\
nift = Kn^ Kn =
V= К О
О V=Cfi44.
Sfe = HhnItin9 V =
h ь— -L- Ra с ° ь о
о
(5.33)
(5.34)
(5.35)
Очевидно, все эти тетрадные компоненты лоренцинвариантны.
Рассмотрим предельный случай СТО с помощью критерия С-+СС,хорошо отражающего переход от относительной к абсолютной одновременности. Не всякий выбор тетрады в СТО приемлем для корректного выполнения предельного перехода с помощью такого критерия. Действительно, из (5.33) — (5.35) следует, что некоторые виды тетрад при с —>• оо или содержат бесконечно большие компоненты или исчезают вовсе. Лишь компоненты (5.33) и им обратные, т. е.
hK
h\ = 6% О
О Z1V=-Uy
(5.36)
содержат в пределе только конечные члены, а именно: IimV =
' 0 I О '
о 1
6flb I о ;
о О (
Iim hkn =
c-* Oo
Det Hhn = 0, Det Hkn = О, Hhn = IimAh", Hkn = Iimftfen.
(5.37)
73 В пределе пространственноподобные векторы хронотетрады выпадают из теории:
Iimsfl = O. (5.38)
C-* OO
Выясним, как ведут себя в пределе с оо векторы тетрады Лоренцевы преобразования можно представить либо матрицей, симметричной относительно диагонали, если х4 = et:
ь
L п = ( Lgb vay/c \ h [ Xfylc у J'
либо несимметричный, если х4 = t:
L" = ( \vay'c2\ = ( L°b va^ ]
h [ v°y I Y ) ' Y I'
Форма преобразований (5.40) удобна тем, что при с оо она автоматически приводит к галилеевым преобразованиям:
IG ъ О Ghn = IimV= IUn
(5.39)
(5.40)
qi_
Vа
Gkn = lim Lkn =
с-*- оо
О
1
(5.41)
Vа 1
В форме (5.40) лоренцевы преобразования используются во многих работах, например в [256]. С групповой точки зрения галилеевы преобразования характеризуются более сложной структурой, чем лоренцевы. Применительно к задачам квантовой механики она, например, рассмотрена в [257]. Рассмотрение преобразований Галилея в 4-мерном пространстве — времени — предельном случае пространства Минковского также ведет к более сложным, чем в пространстве Минковского, геометрическим соотношениям. В пределе изменяются и аффинные свойства пространства и метрические. Метрика становится вырожденной [258—261]. Сначала рассмотрим вырожденные аффинные свойства. Введем с помощью тетрады ek координаты инвариантного вектора х и с помощью ковариантной тетрады ek. [262] тангенциальные ком-
