Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
101 их пространственная и временная части по отдельности. Поэтому при сравнении теории с экспериментом весьма важно согласовать способы расщепления 4-пространства на пространство и время. С заданием 4-мерной криволинейной системы такое расщепление производится посредством эквикоор-динатных гиперповерхностей весьма произвольно, тогда как экспериментатор, выполняя физическое измерение, производит это расщепление по законам СТО (в соответствующем приближении). Мировые компоненты отдельных частей локальных величин будем далее называть натуральными величинами. Общий метод их получения по определению состоит в проектировании отдельных частей локальных величин с помощью тетрад на оси криволинейной системы. Части локальных величин в свою очередь могут быть выражены через мировые компоненты. Поэтому натуральные величины можно представить как функции мировых компонент рассматриваемых локальных величин. В дальнейшем мировые компоненты трехмерной части локальных величин будем отмечать одной звездочкой сверху, временной части — двумя. Иллюстрируем, согласно [281], сказанное примерами:
* def
Xp = Iv1aUa = h\hvavv = — №(4)^(4) Vvt (6.94)
.. def *
Vli = 4) V^ = ft%/lv(4) Vv = ХР — V».
В частности
dx» = /i%dx<4>, db = h\4)hvWdx\ (6.95)
т. е. элемент натурального времени зависит, вообще говоря, от всех компонент дифференциалов глобальных координат. Аналогично введем натуральный метрический тензор:
L = KaKSab = KaK"h\h%gKa = (6/- V4» h\4)) X
X (б/ - V4) gxa = SiiV - KwKw = fiw + KwKw > (6-96) т. е.
L = & kk = К" - V4,AV>. (6-97)
Сравнивая (6.94) и (6.97), находим
* * ** *
V» =ZgVhVbt = (6.98)
Легко убедиться, что
V2 = Hvia^bVaVb = g^v» Vv = g^v» tf = g^ V\ (6.99)
102 Подвергнем натуральный вектор и натуральный метрический тензор локальному лоренцеву преобразованию:
# = = > + A14w0W - HixhIfLi4vkLiiyn, (6.100)
'UW = VW*' = ^v + У4)Лу<4Ч4><4) -
-KkKnLw hLiiynt\(iyw, (6.101)
'> = /i%.i><4>' = h\L(iykLiiynxf, (6.102)
= KiiyKiiy^YW = LiiyhKkLliynKn^rw- (6.103)
Из (6.100) — (6.103) видно, что рассматриваемые натуральные величины инвариантны относительно локального преобразования трехмерного вращения La^(Xk), когда La\ = = И4ї'ь = 0, L<4>'(4)=1, т. е. не меняются при переходе от данной системы отсчета к идентичной ей в динамическом отношении. Однако при преобразовании к неидентичным системам отсчета, когда параметры гиперболического вращения отличны от нуля и меняют движение элементов системы отсчета, натуральные величины меняются. Нетрудно убедиться, что эти выводы справедливы для натуральных величин любого ранга. Трансформационные свойства рассмотренных величин ясны из четырех последних соотношений. Относительно общих координатных преобразований натуральные величины — тензоры. Например,
- IiwaVa = = PllfV (6.104)
Изложенный тетрадный способ введения натуральных величин, очевидно, может быть использован и в плоском и в искривленном пространствах.
§ 7. НАТУРАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В ТЕОРИИ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ВРАЩЕНИЯ
7.1. Использование общего тетрадного метода для определения натурального метрического тензора и физической одновременности. Тетрадная формулировка теории релятивистского вращения может в явно ковариантном виде выразить локальную справедливость СТО при помощи локального ло-ренцева преобразования. Метрическая формулировка базируется, во-первых, на преобразовании азимутального угла ф'^0 = ф±(о/, во-вторых, на посылке и получении световых
103 сигналов в локальной области [22;, 282--284]. Последнее весьма существенно, одно преобразование угла еще не может обеспечить введения натуральных длин и времени, установления неэвклидовости* геометрии при вращении, синхронизации часов и т. д. При этом трансформационные размергіости натуральных величин учитываются не: вполне явно, хотя именно они, как покажем, ответственны за4 перечисленные результаты теории. Используем общий тетрадный метод получения натуральных величин, указанный в п. 6.6. При этом выделим влияние на натуральные величины обобщенного ло-ренцева преобразования (6.45). Учет этого преобразования, заменяя локальную процедуру посылки и получения световых сигналов, полнее выражает исходные положения теории, фиксируя трансформационные свойства локальных величин [52, 274], Тогда результаты теории выступают как следствие неголономности обобщенного лоренцева преобразования при вращении.
Пользуясь нормальными тетрадами (6.50), найдем натура ль ный метрическйй тензор относительно вращающейся системы отсчета:
* def
fa =NSNJHab = W= a iag(l, tr\ I. 0), (7.1) *
Det^v = O, Detgafi ф0.
Согласно (6.52) и (6.46), имеем:
I Y2OjV2N »
W4b = dtag Ilf г, 1, i-j-j=^,,
(7.2)
VV'W = ^1- W2, 1, -^lj ='^.
Следовательно, нормальные тетрады приводят к трехмерному натуральному метрическому тензору, ненормальные тетрады (6.46) и (6.52), у которых Zi4(2)' и hr{2) отличны от нуля, —к
четырехмерному, причем gaj3 = Выразим натуральный метрический тензор трехмерного подпространства через компоненты метрического тензора 4-пространства ^plv. В случае нормальных тетрад имеем:
