Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Vrt- = Ws 4r»=diae0 .1.1, -1). (5.4)
Дополним эти уравнения калибровочными условиями, требующими симметрии смешанных компонент тетрад hk,r относительно главной
5*
67 диагонали их матрицы. Найденные при таких условиях тетрады—постоянные, голономные преобразования Лоренца. Именно таков традиционный рецепт вывода в СТО лоренцева преобразования: коэффициенты этого преобразования явно рассматриваются как тетрадные компоненты; они фактически непосредственно находятся из 10 уравнений (5.4) и 6 калибровочных условий симметрии тетрад. Поскольку это важно для дальнейшего, иллюстрируем изложенный тетрадный подход к разысканию лоренцева преобразования на двухмерном случае пространства — времени, следуя [254].
Уравнение (5.4) выражает требование инвариантности интервала
(ds')2 = ds2 = Tjfc'я' dxk'dxn' = г\rsdxrdxs. (5.5)
В частности,
(dx 1T — {dx*')2 = (dx1)2 — (dx4)2. (5.6)
Положим
dxh' = hk'rdx\ (5.7)
т. е., в частности,
dxv = H1^dx1 + A1Vfc4 = a dx1 + ?dx4,
(5.8)
dx'= №\dxx + /*V*4 = ydx1 4 Mx\
Подставив (5.7) в (5.5), получим 10 уравнений, обратных уравнениям (5.4):
Tlrs = hk' rhn' sr\k'n'- (5.9)
Неизвестными в этих уравнениях являются 16 величин Hkfr В частности, для двухмерного случая (5.9) сводятся к 3 следующим уравнениям:
hk\h« Лк-п. = (Z^1)Vi' + (ft4,i)V4- =
= Ct2-Y2 = Ли = 1. h"Jin\i\k-n- = ?2- 82 = %4 = - 1.
(5.10)
hk\hn\х[к.п- = a? - y& = Tll4 = 0.
Дополним эти 3 уравнения относительно 4 неизвестных одним калибровочным условием вида
Alf4 = A4V Т. е. ? = 6. (5.11)
При таком калибровочном условии первых два уравнения в (5.10) становятся одинаковыми, система уравнений недо-определенной. Поэтому найденные таким путем тетрадные компоненты содержат произвольную постоянную величину 6:
а = 6 = che, P = Y=she. (5.12)
68 Итак, коэффициенты лоренцева преобразования СТО являются частным, предельным случаем обобщенных коэффициентов Ламэ и находятся по общему рецепту разыскания тетрад.
5.2. Обобщенные преобразования кругового и гиперболического вращения локального репера в двухмерном эвклидовом пространстве. Пусть в двухмерном эвклидовом пространстве задана полярная голономная система координат:
x1 = г, xа = е, ga& = diag (1, г2). (5.13)
Установим в каждой точке также локальные декартовы координаты, приняв калибровочные условия вида
dxa = , hl{2) = — h2{l). (5.14) При этом условии из (5.13) находим
/ cose sine \ (515) р V — /* sin 6 Ґ cos 0 /
Отсюда следует
C2(1)i2 = d[2h^ = О, Q(2>(1)(2) = 0. (5.16)
Установленные при условии (5.14) локальные декартовы системы являются частями глобальной голономной системы координат. Подвергнем теперь коэффициенты (5.15) обобщенному преобразованию вращения:
/ cose sinex \ —sin6 cos6 J
считая, что угол-параметр 6 переменен, т. е. что поворот локального орторепера различен в различных точках. В результате имеем
Vb) = ^/'V = ( l0 °r ) (5.18)
— коэффициенты Ламэ полярной координатной системы. Таким образом, чтобы получить орторепер, скрепленный с полярной системой, направленный по ее осям, нужно над репером голономной глобальной декартовой системы координат выполнить обобщенное лоренцево преобразование (5.17). Преобразованные локальные системы становятся него-лономными:
Й(2),21 = 4- W = \ , = 0. (5.19)
69 Совершив обход по окружности, получаем
в
AxW = §haWdx« = 0, я*1)' = J' hfYdr = г,
А
Дх<2>' - $ HtWdxP = $ ft2<2>' de =
(5.20)
= — 2 J j ?2(2)'12drd0 = 2яг,
где точки Л и ? взяты на одном радиусе. Таким образом, неголономность преобразованных локальных систем носит частичный характер: первая координата остается голономной — dx вторая неголономна.
Обобщенное лоренцево преобразование (5.17) влечет за собой б. м. преобразование вращения, у которого отличен от нуля лишь один его коэффициент
Ю(і)(2) = Y(ott)x dx% = Y(ix2)2^e (5.21)
(для простоты штрихи над индексами локальной системы опускаются). Сведения о коэффициенте вращения Риччи легко находятся из условия эвклидовости рассматриваемого пространства. Действительно, из уравнения
A(Dtt)I2 = 2?! Y|(1)(2)|2] + 2Y(i)P[ 1 YlР(2)/2] = 0, (5.22)
поскольку коэффициенты вращения Риччи антисимметричны по двум первым индексам, и в силу условия симметрии
32Y(1)o)x = 0 (5.23)
находим
diY(Dtt)2 = Y(Dtt)2 = const = 1,
(5.24)
w(Dtt) = ^0-
Установим локальные псевдодекартовы системы координат в двухмерном пространстве Минковского. Зададим голо-номную криволинейную систему координат с осями — гиперболой во временноподобном конусе и мировыми линиями инерциально движущихся тел [255]. Тогда голономными криволинейными координатами будут
X4 =T, X1 = е, (5.25)
где 6 — угол (быстрота) между исходной мировой линией и таковой инерциально движущегося тела со скоростью v/c = = th0 = const, т — интервал между точками на прямой произвольной мировой линии (рис. 1). Аналогично предыдущему имеем
^v = diag(T2, -1), |i= If 4. (5.26)
Приняв калибровочное условие
AKD = Ли* (5.27)
70 находим
