Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
119 Нетрудно убедиться, что если
_ ^Xr____V (г)
- 1 1 1 —1— [ 1 — ((О ХГ)2]2 1 + [ 1 — ^2 (г)] 2
(7.90)
со = const,
т. е. когда
Q =-®---J-, с = 1, (7.91)
1 +[l.-T-(o X г)212
то (7.89) совпадает с обобщенным лоренцевым преобразованием (6.45).
Выполним последовательность лоренцевых преобразований: обобщенного, когда Q^ = Rt = O, и с постоянными параметрами. Тогда, ограничившись для простоты постоянным S-параметрическим преобразованием гиперболического вращения, имеем:
Qh- = Lhn(Vr)Qni т.е. Q4-=H=O,
(7.92)
Rkf = Lbn(Vr)Rnj т. е.Я4-=? 0, 1
что указывает на физический смысл параметров q±kn в общем
случае. Эти параметры будут функциями г, оо, V, где V — постоянная скорость движения вращающейся системы как целого.
Для описания вращающейся системы отсчета, которая как целое движется инерциально, нужно выбрать вспомогательную систему координат и тем задать начальные координатные тетрады. Выполнив над ними обобщенное лоренцево преобразование, получим тетрады, описывающие в принятой вспомогательной системе координат систему отсчета и вращающуюся и движущуюся как целое инерциально.
§ 8. ТЕТРАДНАЯ ФОРМУЛИРОВКА
РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
8.1. Глобально-общековариантная запись релятивистской электродинамики. Она предполагает введение произвольной глобальной, голономной координатной системы. Запишем уравнения Максвелла в глобальной голономной псевдодекартовой системе:
dkEnk = Jni d[kEmnl=Q. (8.1)
Переход к 4-мерной глобальной криволинейной системе координат х% можно осуществить, заменив в (8.1) производные
120 на. ковариантные относительно символов Кристоффеля и введя тензориальные компоненты напряженностей электромагнитного поля:
P __ р kD ПИ Dfe — Л Vfe 1^HV — гц гх hm rIi — u\i/x »
(8,2)
VliE^ = д^ + Tv PilEQ[l + = i\
(8.3)
(8.4)
Символы Кристоффеля относятся к произвольной, заранее не-предрешенной координатной системе. Такая общековариант-ная глобальная формулировка основных уравнений электродинамики СТО детально разработана (в частности, изложена в [30]). В рамках римановой геометрии, к которой обычно относится общековариантная электродинамика, отсутствует кручение. Поэтому уравнение (8.4) является тривиально тензорным уравнением.
Потребность в общековариантных уравнениях электродинамики диктуется следующими причинами. Во-первых, многие частные задачи СТО решаются проще в криволинейной координатной системе с осями, искривленными в трехмерной части пространства. Тогда обычно символы T^v в (8.3) относятся к трехмерной, например, сферической или цилиндрической системе координат. В более общем случае в рамках СТО может использоваться координатная система и с искривленной временной осью.
Во-вторых, общековариантные уравнения необходимы при описании электромагнитных явлений во внешнем гравитационном поле. Как отмечено в [249], «нужна такая теория, которая позволила бы проследить за излучением, распространяющимся от звезды к Земле в искривленном пространстве — времени». Тогда символы Кристоффеля в (8.3) являются результатом решения гравитационных уравнений Эйнштейна ОТО. Кроме того, согласно ОТО, источником гравитационного поля могут быть не только гравитирующие массы, но и поля, в том числе и электромагнитное. Частные случаи полевых источников гравитации рассматриваются, например, в [288]. Это же требует записи тензора энергии-импульса электромагнитного поля в криволинейной системе координат, т. е. представления его через тензориальные компоненты электромагнитных напряженностей. Интересное исследование тензора энергии-импульса нулевого электромагнитного ПОЛЯ с помощью изо-
121 тройных векторов и последующим применением к ОТО имеется в [128].
Итак, в общем случае уравнения общековариантной электродинамики относятся к неэвклидовому пространству. Это выступает явно при переходе к уравнениям второго порядка— относительно тензориальных компонент 4-мерного потенциала электромагнитного поля. Совершим такой переход, следуя, например, [249]. Из (8.4) вытекает
= (8.5)
Подставляя (8.5) в (8.3), находим
? Л,-/4va A + k = о> ? A* = /0VbVoAi- (8-6)
Поскольку
VfxVaA — VaVnA == (8.7)
/eVnVaA - Vn (/*v«A) = - R*hA"9
то, приняв условие нормировки
/vVvA = v4 = Oe (8.8)
получим
? А + ЯцхЛх + /<х = 0, (8.9)
т. е. общековариантное уравнение Даламбера относительно электромагнитного потенциала, вообще говоря, явно содержит характеристики кривого пространства — сокращенный тензор Римана — Кристоффеля.
На определенном этапе возникает вопрос о сравнении общековариантной электродинамики с экспериментом. Для проверки на опыте выражений, содержащих компоненты Emn относительно глобальной псевдодекартовой системы, с ними сопоставляются трехмерные векторы. С переходом к тензори-альным компонентам напряженностей некоторые авторы поступали аналогично:
E^ = ± ?« ?«? s rfto?v (8.10)
где T]«?Y—трехмерный псевдотензор Леви-Чивита относительно криволинейной системы координат. Правило замены (8.10), в частности, при переходе к вращающейся системе отсчета явилось источником путаницы и разногласий, которые кратко резюмируются в [51]. Не было учтено, что уже в общековариантной нерелятивистской электродинамике с опытом сопоставляются не криволинейные, а локальные декартовы компоненты величин. В результате правила (8.10) отброшены и заменены другими.
