Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
9.5. Предельный случай эйнштейнова уравнения с вырожденной метрикой Фридрихса. В работах [264, 265] намечен другой путь корректного применения критерия (9.21) для перехода к слабому полю тяготения. Он предполагает задание локальной справедливости СТО в хронометрической форме с помощью (5.44) и состоит в переходе посредством (9.21) к локальному лоренцинвариантному вырожденному метрическому тензору (5.60) и (5.62). Тогда десять уравнений (9.8). записываются в виде:
= KkKnShny Skn = diag ^ J- f A., JL f _1 j , ^v АХЛ gkn = diag ^lfIfIf--Ijf (9.22)
В пределе, согласно (5.58) и (5.60), находим
Iimgllv = П^ = #n(4)#v(4)tt(4)(4).
C-* «
Htl* = limV. nhn = Hmgftn,
c-* со c-* oo
lim ^v = AZtiv = HixaHvbNab, (9.23)
C-* оо
HJtHlin = 6*„, Н^Н\ = 6* , HiivNilk = О,
Т. е. Det AIiav = 0, но, вообще говоря, Det Ar^v ф 0.
Вырожденные метрические гравитационные потенциалы Hllv и N^ инвариантны относительно локальных галилеевых преобразо-
144. (JL JLj , N^ = I onI
{о «44 ) { о о)
ваний. Более детально рассмотрим случай, когда вырожден не только метрический тензор MlllV, но и N^xv и когда их ранги соответственно совпадают с рангами метрических тензоров nhll и Nkny а тетрадные компоненты не зависят от с:
AJaR А \
(9.24)
В [314] развивалась теория гравитационных полей с детерминантами метрических тензоров, равными нулю. Из соотношений
«44 = Я4(4)Я4(4)"<4><4> Hla = Я4(4)Яа(4)П(4)(4) = 0, (9.25)
пч = Яв<«Я,%(|) = 0
и соотношений, справедливых при любой ориентации тетрадных векторов еа:
JVap = HaaHfibNab ф 0, N^ = HiaHfibNab = 0,
(9.26)
Nu = HiaHibNab = 0, соответственно находим, что при любых значениях индексов а и a
HaW = #4a = 0, (9.27)
т. е. в пределе остаются 13 тетрад, вообще говоря, отличных от нуля:
/ Ha M і 0 ] 1. П = 1 |tfa<4) ]
U4-1 I H^j { 0 ! IWm )
H
Н*"\0\ jt^rrn
о о I * ~ Пкпй
Det Huk = Det Hxxh = 0,
0 I 0
о I Я4(4)
1Hfe
(9.29)
Я^= Яй* tfvfc = 0.
Из (9.28) и (3.93) после предельного перехода с->- оо получаем:
Yfemtt)
= / Vabtt) Q Yfl(4)(4) \ \ Y(4>a<4) 0 /
(9.30)
Yfema = 0, Y(4)fl<4> = — (9.31)
т. е. при принятых условиях ковариантные компоненты коэффициентов вращения Риччи вида Ya(4)4 =—Y(4)a4=^0 составляют общую часть тетрадной формулировки теории тяготения и ее предельного случая в том смысле, что в пределе ОНИ, BO-
10. Иваницкая О. С. 145 обще говоря, остаются отличными от нуля. Смешанные компоненты коэффициентов вращения Риччи, связанные с (9.30) вырожденным метрическим тензором, естественно, также вырождены:
Этими коэффициентами и задается аффинная связность, определяющая бесконечно малое галилеево преобразование. При вырождении метрики равноправие контро- и ковариантных компонент величин теряется. Поэтому важно применять критерий перехода (9.21) для одного рода компонент величин и далее получать сведения о другого рода компонентах этих величин уже с помощью вырожденного метрического тензора. Следует принять первоначальными смешанные компоненты h^k, yhn%, RkTiiiVy так как именно компоненты yknx входят по определению в обобщенное галилеево преобразование.
Трехмерные компоненты уаьс и параметры преобразования вращения о)аь при таком предельном переходе из теории выпадают вследствие принятой хронометрической формулировки локальной справедливости СТО, соответствующей радарному способу измерения расстояний бесконечно быстрым сигналом. Поэтому координаты мировых точек при таком подходе носят чисто аффинный характер.
С помощью (9.29) — (9.32), учитывая условие статичности ^YfenX = O, сформулированное относительно используемой глобальной системы координат, находим
#(4)a4? = — d?Y(4)a4' ^(4)fla? = Rab4? = Rabafr ж 0, R = 0. (9.34)
Следовательно, 3-мерное подпространство при принятых условиях эвклидово.
Из (9.5), (9.28), (9.29)-(9.32), (9.34), как и в [118] из других соображений, получаем, во-первых:
(9.32)
(9.33)
(10.17)
146 Аналогично из (9.11):
'-(4)(4) = H*wdadaHiW = y.Tww, г = О, rflb = 0. (9.36) Умножая на #4(4) и полагая xfl=O, вновь приходим к (9.35):
д°даНм) = H1W Tww = тт, Taw = 0. (9.37) Во-вторых, оказывается: в рассматриваемом пределе
Я о4 = Rwa = Rafi = 0. (9.38)
Критерий с->оо также не всегда автоматически приводит к уравнению Пуассона. Действительно, например, в полугеодезической системе координат имеем
+-L Yaf3^W ga?= (9.39)
где принято, что ya? не зависит от с. Пусть при этом контро-вариантные компоненты метрического тензора определяются метрикой (9.22), т. е. локальная справедливость СТО принимается в хронометрической формулировке. Тогда
/Ziav = Mmgilv = diag (0, 0, 0, —1),
(9.40)
lim = APv = diag ( —-—, -J—, -J-, о) .
\ Yi1 Y22 Y33 J
Это вновь случай совпадения рангов матриц предельных значений локальной метрики и метрических потенциалов. Так как
"44 = Hmg44 = (Wnww = - 1, (9.41)
С->оо
то можно положить Я4(4) = 1. Если также #а(4) =1, т. е. численно dx(4) = Я1А(4) dx* = dx* + dxa, то. в силу соотношений
