Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
9.3. Тетрадное уравнение Эйнштейна относительно локальной псевдодекартовой системы координат. Свернув тетрадное уравнение (9.5) с Ziorr, получим:
Rnr 2 1Inr^ ^ Х Tnn Rnr = ^rRno* (9.9)
где Rnr и R построены с помощью RhUiiv, т. е. с помощью коэффициентов у/т*. Уравнение (9.9) явно ковариантно относительно одного вида преобразований — локальных лоренцевых. Очевидно, его можно ввести независимо от (9.5). Тогда исходным структурным элементом будут полностью локальные компоненты тензора Римана Rknrs> удовлетворяющие (3.70):
Rns — Rknks " rIkmRmnks =
= rknus + ZyknqMha = ГП, + 2v*n А,. (9.10)
Подставляя (9.10) в (9.9), находим уравнение
rns + ^knqQ\s —TlnsK = x-Tns, (9.11)
где.
R = T1nsAns = *Trns + 2tTy\As = г + yk'qQ"kv (9.12) которое полезно иметь для анализа предельного перехода к ньютонову приближению.
Координатные условия также могут быть представленными в тетрадной форме и относиться к выбору локальных не-голономных координатных систем. Так, в [117] на локальные псевдодекартовы системы наложено условие
Vah0h= 4 д° (hh\) = 0, h = Det V. (9.13)
п
В пределе, если псевдодекартова система становится голономной (9.13) принимает вид:
В [298] условие (9.13) использовано для исследования тензора энергии-импульса гравитационного поля в форме, предложенной в [117, 118].
Уравнения гравитации Эйнштейна записаны в разнообразных формах, легко сводимых к тетрадной или непосредственно использующей тетрады. В [299] уравнениям гравитации в тетрадном представлении придана каноническая форма. В [103] разработана матричная запись уравнений тяготения.
9.4. Геометрия пространства — времени в предельном случае метрического уравнения Эйнштейна. К простому предельному случаю релятивистской теории тяготения обычно приходят и из наводящих индуктивных соображений и при переходе к пределу в метрическом уравнении Эйнштейна [22, 30]. Используемый критерий имеет вид:
-J-«1, «І- (9.15)
Этот критерий приводит к приближенной теории («ньютоно-вому приближению» теории гравитации). В случае статического центральносимметричного поля он приводит к квадратичной форме
(9.16)
или
142.
ds2= + (dx^ — dr2,
?lw = diag(l + -2L, -1, -1, -l), ^=(1 + ?-) (^)2- (:1 - |г) dr2> <9-17> где ф — ньютонов потенциал. При условии (9.15) различие между (9.16) и (9.17) несущественно. Если с= 1, компонента метрического тензора g44 с точностью до аддитивной постоянной совпадает с удвоенным ньютоновым потенциалом. Тогда из системы метрических уравнений Эйнштейна остается одно, приводимое к пуассоновскому уравнению тяготения:
D4 „Л Г« _ _ ^L о A4- CaI 44 — ^ Р»
(9.18)
ІІШ (T44 = PC2D4W4) = р.
02/С2<1
Единственный коэффициент связности, подсчитанный с помощью метрического тензора (9.16):
Tot44= - 4 SaaOagii = \ дац>. (9.19)
2 с2
Это значит, что слабое гравитационное поле описывается четырехмерной квадратичной формой (9.16) и что четырехмерная геометрия остается неэвклидовой. «Остаточная» неэв-клидовость проявляется отличием от нуля пространственно-временных компонент тензора Римана:
R\, = oera44 ф о, Rafiy6 = 0, (9.20)
где a, ?, у у 6=-1, 2, 3, тогда как 3-подпространство в принятой^ (9.16) системе координат оказывается эвклидовым. Как отмечалось в [300], учет неэвклидовости (9.20) может частично обеспечивать релятивистскую поправку при движении перигелия Меркурия и отклонении светового луча полем тяготения. Полное значение поправки получается при учете неэвклидовости и трехмерной части 4-пространства. Таким образом, тензор Римана в пределе не обращается полностью в нуль и продолжает играть роль структурного элемента при построении уравнения Пуассона как предельного случая уравнения Эйнштейна. Уравнение Эйнштейна может быть записано в различных негалилеевых координатах. Не для всяких координатных систем критерий предельного перехода (9.15) переводит эйнштейновское уравнение непосредственно в пу-ассоново. В зависимости от принятой координатной системы аналитическая формулировка критерия предельного перехода, вообще говоря, различна. Это, например, очевидно для случая полугеодезической системы координат [301, 302].
Дополнительное изучение структуры эйнштейновского уравнения, особенно вызванное классификацией полей тяготения, выразилось и в дополнительном изучении предельного случая этого уравнения. В работах [301—306] рассмотрены
143. весьма обстоятельно более сложные предельные случаи в метрической формулировке. Требуется, чтобы в специальных координатных системах все компоненты метрического тензора (кроме ?44) имели конечные предельные значения. В противном случае данная координатная система непригодна для рассмотрения ньютонового приближения. В частности, обнаружилось наличие в ньютоновом пределе «вихревого» поля тяготения, а также второго класса гравитационного поля. В развитие [258—259] получил применение критерий перехода
с->оо, (9.21)
приводящий в пределе к строгой теории с бесконечной скоростью распространения взаимодействия. Этот критерий применяется в [307—313] для индуктивного аксиоматического построения ньютоновой теории гравитации с применением производных Ли и для исследования предельных значений метрик более сложных, чем (9.16).
