Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
с2 \ с
-X")-
Эти уравнения трехмерны и можно убедиться, чтс/ их трехмерность предполагается «натуральной». Для этого перейдем в (8.61) к компонентам:
V= E == (Eiih Ei2h ?(3)), (8.62)
где тетрады
V = diag (1, у г, 1) > (8.63)
определяются 3-мерным метрическим тензором ga^ согласно (7.1). Легко обнаружить совпадение уравнений (8.61) и (8.60). Покажем это, например, для четвертого из уравнений (8.61):
1 Y2
diEd) -I--d2Ei2) + д3?(3)Н--?(1) =
Y г г
со г Y д I cor „ \ , (OY2 л ,о пл^
"м«7 clГ(т~ (2)) + 2 с Я(3)- (8-64)
Учитывая, что, согласно (8.56),
/(4)= P-ZoojT. (8-65)
C2
видим, что (8.64) совпадает с четвертым из системы уравнений (8.60), что вполне естественно, так как метрический тен-
* *
зор gap, а следовательно, и hab получены также с помощью нормальных тетрад.
Общековариантной электродинамике посвящены многие, работы, в том числе [291, 292].
8.5. Двухпараметрическое лоренцево преобразование при вращении. Как видно из (6.48), не все компоненты объектов неголономности обращаются в нуль, когда со->0. Это — результат того, что пространственные тетрадные векторыe(fl ка-
133. сательны к осям криволинейной координатной системы. Сохраним криволинейную систему цилиндрической, но исходный репер е k выберем голономным так, чтобы во всех точках векторы tk были направлены по осям некоторой голономной глобальной псевдодекартовой системы координат. Тогда все компоненты объекта неголономности будут вызваны только вращательным движением системы отсчета. Выясним, какими будут эти компоненты и другие геометрические характеристики вращения. Пусть
/ cos ф sin ф О О I —г sin ф г cos ф О О
V=I о о 10 I- (8-66) V 0 0 0 1
Эти тетрады получаются из тетрад (6.42) обобщенным лоренцевым преобразованием Rkn> входящим в (6.44). Подвергнем (8.66) двухпараметрическому локальному лоренцеву преобразованию:
f 1 + к sin^p —К sin ф COS ф 0
Lk =
и п—
СОГ . \
-Y sin ф
с
—к sin ф cos ф 1 + к cos2 ф 0--— Y cos ф
с
О
1
cor
V
Y sin ф
со г п --Y cos ф О
Y
О Y
(8.67)
/
X = Y — 1 с двумя обобщенными параметрами:
m dxil) U т dxW • (3) Л
г,(I)z= - = /i11(I) --- = _cor Sin ф, 1Л3) = Of
П<2) :
dt dx™
h (2) nH
dt dxM
(8.68)
dt и dt Применив (8.67) к (8.66), найдем: / cos ф sin ф
= СО Г COS ф, U2 = й)2Г2.
C =
— Г у Sin ф О
ry COS ф
О
0
1
coraY
cor cor л
_Y sin ф--Y cos Ф "
с с
(8.69)
134. AV =
COS ф
Y
Sin ф
О
cor
--Y sin ф
с
СО г
Sin ф
- COS ф
о
- Y cos ф
О
0
1
О
0 \
(О
О Y
J
Подвергнув эти тетрады преобразованию (6.49), получим:
=
(
COS ф
sin ф
Yr
V
о
cor
--Y sin ср
sin ф
COS ф Yг О
О О
\
О О
(ОГ
I О усовф О Y
J
\ °о
COS ф
Yг sin ф
Sin ф Y г cos ф
О О
О
0
1
О
tor'
с О
1/Y
1 і
(8.70)
В отличие от (6.50) они не являются нормальными и так же, как (8.69), приводят к следующим компонентам объекта неголономности:
?(1)(2)(D =
о««« —
XY
2г
Q4
sin ф,
Й(2)(2)(1) =
XY
~2г
COS ф,
(О
со ~2с со
(2)(4) =— — Y.
(1)(2) = -Y
С
(1)(4) =
QW
сот 2?
Y cos ф,
(8.71)
(2)(4) = — Y' Sin ф.
Таким образом, использование двухпараметрического преобразования Лоренца (8.67) для описания вращающейся системы отсчета ведет к более громоздким соотношениям, чем применение однопараметрического преобразования (6.45). Однако при со-Я), а следовательно, и х->0, как видно из (8.71), исчезают все компоненты объекта неголономности. ГЛАВА З
§ 9. Различные представления уравнения Эйнштейна и предельный случай тетрадного представления
§ 10. Локальные лоренце-вы преобразования и натуральные величины в шварцшильдовом поле тяготения
§11. Преобразования координат» связанные с локальными преобразованиями Лоренца
9.1 Уравнение Эйнштейна в метрической форме
9.2 Тетрадное представление уравнения Эйнштейна (локально-глобальное)
9.3 Тетрадное уравнение Эйнштейна относительно локальной псевдодекартовой системы координат
9.4 Геометрия пространства—времени в предельном случае метрического уравнения Эйнштейна
9.5 Предельный случай эйнштейнова уравнения с вырожденной метрикой Фридрихса
9.6 Предельный случай уравнения Эйнштейна с вырожденной метрикой Хаваса
10.1 Определение натуральных величин и системы отсчета с помощью калибровки тетрад
10.2 Случай нормально-диагональной калибровки тетрад для шварцшильдова поля тяготения
10.3 «Временная» калибровка тетрад
10.4 «Кулонова» калибровка тетрад
10.5 Реперное задание системы отсчета посредством нормальной системы координат
10.6 Связь эффектов красного смещения и отклонения светового луча в гравитационном поле с неголоном-
ностыо орторепера при временной калибровке
11.1 Особенности шварцшильдовых тетрад
11.2 Общий метод разыскания преобразований, устраняющих особенности на сфере Шварцшйльда
11.3 Выбор лоренцева параметра, приводящий к круска-ловым координатам
