Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
0 \ / 0 п3 0 0
S3 Il * [ — ft3 0 0 т2
0 0 0 0 0
о/ \ 0 —т2 0 0
pkn = * : : ; ; ; : (4-29>
при условии, что P12 = P42. Это условие — обязательное следствие нулевого характера бивектора pkn.
Для электромагнитного поля подбор координатных осей, относительно которых phri принимает канонический вид, может быть связан с главными направлениями тензора энергии-им-лульса [128], квадрат которого определяется только инвариантами ii и t2:
T2 = TknTkn = J12 + I22. (4.30)
В работе [128] для детального исследования нулевого электромагнитного поля с привлечением тетрад, вводйтся некоторый изотропный вектор Ck:
Thn = ChCn, CkCk= 0. (4.31)
4.2. Бивекторная параметризация лоренцева преобразования. В этой параметризации лоренцево преобразование представляется в виде [247]
Ikn = 4" Iftfcm + Pkm)(r\mn + Pmn) -0Pkm 0PmnI (4.32) А
А2 = (1+д2 + ч2. (4.33)
В зависимости от значений инвариантов параметры преобразования будут сложными, простыми или нулевыми.
Рассмотрим трехпараметрический частный случай, когда
Pab^ 0, (4.34)
(4.35)
0 ff \ * / Ihc Dflkn __ / 0
—ьс 0 J ' р U 0
I1 = O, i2 = — b2. (4.36)
Подставляя (4.35) в (4.33), находим:
* 2 б2 4 * 1 + fc2 4 - " ) Lj Il -
А Д
Lcd = -^tl, c^d,
57 Lcc == —(1 + b2 — ba — bd2), сфафйфс, A
(4.37)
A = I — fc2 = 1 + I2.
Между вектор-параметром b и параметром-скоростью имеет место следующая связь:
b = -V/C (4.38)
1+1/1 — v*/c2
Во втором частном случае, когда
Pc4 = - К = 0, раЪ = — асФ 0, (4.39)
(4.40)
* I ( —ас 0
I к о 0
Ф0,
0
ас 0
имеем
Ii = О, I2 = 2а2. (4.41)
Сравнивая (4.41) с (4.36), видим, что в обоих частных случаях бивектор pkn простой, но ненулевой, а его скалярный квадрат, т. е. инвариант і2, в одном случае существенно отрицателен, в другом положителен, т. е. в первом случае бивектор временноподобен, во втором пространственноподобен.
В общем случае простых бивектор-параметров отличны от нуля и пространственно-временные и чисто пространственные компоненты бивектора. Тогда в качестве параметров могут быть выбраны независимые компоненты векторов-делителей.
4.3. Лоренцево преобразование с само- и антидуальным би-вектор-параметром. В силу антисимметрии бивектор-параметра, а также коммутируемости операции свертывания с метрическим тензором и операции дуальности в определении (4.2) имеем следующие соотношения:
r\km 0Pran = VmTJmn, 0PkmPmn = Pkm °ртп. (4.42)
Пользуясь ими, легко преобразовать бивекторную параметризацию лоренцева преобразования к виду с само- и антидуальным бивектор-параметром. В матричной форме такая параметризация предложена в [241].
Само- или антидуальным бивектором называется такой,
когда
опы = ± пы9 (4.43)
Понятие само- и антидуальности при принятом выше определении операции дуальности не может быть введено с помощью только одного тензора. Действительно, например:
1 *
П4І " — rUi0 ПаЪ = rI 1234^23- -
58 Допущение 0Hiki = n41 невозможно, так как тогда — m23 = п41, где левая часть мнима, а правая вещественна. Аналогично
°n2Z = ~ ЛгЗ^Ьп — Yii234ni4'
Сделать второе допущение D/z23 = M23 также нельзя, поскольку — inki ?=п23.
Однако само- и антидуальные бивекторы могут быть введены как функции бивекторов не само- и не антидуальных. Действительно, при принятом в (4.2) варианте D-операции имеем
D(pkn ± DpknJ = Dqkn = ± (pkn ± DpknI s ± ^ (4.44)
где верхний знак в сумме и перед q±kn соответствует верхнему знаку-индексу qk?. Знак-индекс «плюс» означает самодуальность, знак-индекс «минус» — антидуальность. Свойства само- и антидуальности лоренцинвариантны. Действительно:
Dq±kn = ± q±kn,
(4.45)
Lr\Ls'n = ± ± = Lr kL* п ^-і if»« ) = (4.46)
где Df—операция дуальности в системе К', т. е. выполненная посредством iT]r's'<7'p'. Очевидно, и свойство антидуальности ло-ренцинвариантно. Переходя к трехмерной записи, имеем
q±kn =
q±ab = — (ас + ibc\ q±cl = ± і (ас + iff)
q±ic = T (ае+ ibc) 0
(4.47)
Учитывая (4.42) и добавляя к (4.32) следующие суммы, равные нулю, приводим лоренцево преобразование к виду с само-и антидуальными параметрами
Lkn = ~ [(Tlfcm + Pkm) Olmn + Pmn)- °РШ °Ртп +
+ (TlfcmDPron -TJmn Vm) + (.0PkmPran-Pkm °Ртп) 1 =
= 4-(^+^):(? п + Я-тпУ,
А
А2= ( 1 + — И 1+—). (4-48)
где введены обозначения:
def J J
U = к+ = = — їЛ+W = — Dq+hn
(4.49)
def I
L = h. = — Ч- - — =
1
п kn Dn Ч- Ч-kn-
A =
1 + -7 Q±hnQ± 4
__ —
2 2
" Г
+ - 2 (ч + I2), = 2 (? — g, = і+.
(4.50)
Здесь * — знак комплексного сопряжения. Верхний и нижний знаки в правых частях соотношений (4.49) соответственно относятся к верхним и нижним знакам-индексам.
Таким образом, весьма просто можно перейти от параметризации конечного лоренцева преобразования с непростым бивектор-параметром, несамодуальным и неантидуальным, к параметризации с тремя самодуальными (q+kn) и тремя антидуальными (q~hn) параметрами! Этот переход, как видно из (4.48), обеспечивает лоренцеву преобразованию весьма простую трехмерную запись:
