Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
53частный случай общего условия простоты полностью антисимметричного тензора любого ранга (валентности). Существует два варианта этого общего условия. Во-первых, полностью антисимметричный тензор г-го ранга является простым в том и только в том случае, если
p[ntn2...nr ртх\тг...тг __ Q (4.6)
Во-вторых, менее непосредственное, но необходимое и достаточное условие простоты имеет вид
р1пфг...пг рт1т2Т\...тг Q. (4.7)
Можно доказать, что (4.7) справедливо в том и только в том случае, когда имеет место (4.6). Если выполняется (4.6), то полностью антисимметричный тензор г-го ранга может быть представлен антисимметричным произведеним векторов ап, fn:
p[nt...n2] г\аІПіЬП2 ... fnrl
b1 b2 .
br
(4.8)
jl p jr
в других обозначениях
p[mn... /] =Г| a[mbn _ fl] ^gj
Каждый из г векторов am, bn, fl называется делителем полностью антисимметричного тензора.
Рассмотрим (4.6) применительно к бивектору:
p[mnpi]s = Oj р[тп] 2! (4.10)
В развернутом виде имеем
р{тп рПS = ptnnpls + prisms + pirripns = Q, (4.11)
где все 4 индекса различны, например
р[12рЗ]4 = р12р34 + р23рЫ + р31р24 = Q ^ щ
Это соотношение может быть представлено в виде
P12 D Pl2 + P23 D fe + P31 D Рзі = 0. (4.13)
Аналогичное преобразование уравнений системы (4.11) можно провести при любой другой расстановке неравных друг другу индексов. Следовательно, условие простоты тензора второго ранга может быть представлено так:
2ч = ртп0Pmn = O. (4.14)
54В общем виде эквивалентность условий (4.6) и (4.7) применительно к бивектору легко заметить, исходя из (4.14):
Pmn^mnuPls = 0 (4.15)
и если свернуть его с r\P4rs. Следуя, например [133], имеем
SZkiPmnPkl = (4Л7>
откуда
Jfknpr^zss о. (4.18)
Будучи тензорным, критерий простоты (4.10) инвариантен, что особенно наглядно видно из (4.14), где критерий простоты принял скалярную форму.
Можно показать, что некоторый вектор ak является делителем полностью антисимметричного простого тензора Plmn--sI тогда и только тогда, когда
p[mn...sak] = 0. (4.19)
Применительно к бивектору имеем
р{тпа1] = 0. (4.20)
Коль скоро геометрическим образом простого бивектора является площадка, условие (4.20) требует, чтобы вектор ah лежал в плоскости, в которой расположена эта площадка.
Если равны нулю оба инварианта, т. е. іі = і2 = 0у то поле такого бивектора называется нулевым полем. В частности, такого рода бивектором описывается электромагнитное излучение (246]. Естественно бивектор нулевого поля назвать нулевым бивектором. Для него имеем
i2 = 2[mV~(m\)2] = 0»
(4.21)
п2 = YihTih, т2 = mkmk, pkn = 2m[knny
Если пф 0, тф 0, то при условии (4.21) векторы шип параллельны и поэтому одновременно не могут быть делителями бивектора. Следовательно, во всяком случае один из 4-век-торов, образующих бивектор нулевого поля, должен быть изотропен. Тогда нулевой бивектор может быть изображен площадкой, расположенной в гиперплоскости, касательной к нулевому (световому) гиперконусу.
Бивектор, у которого в некоторой системе координат отлична от нуля лишь одна компонента, например рс4 при фиксированном индексе с, очевидно, является простым. Выбрав временноподобный вектор-делитель единичным, имеем
Pc4 ?4 = 1, (4.22)
55где звездочкой над равенством, как принято в [17], отмечено, что оно имеет место лишь в указанной системе. Применяя (4.22) к каждой из компонент вида рсА непростого бивектора, приходим к известному правилу сопоставления компонентам бивектора трехмерных векторов:
Pc4 * Ьс. (4.23)
В дальнейшем поскольку это не вызовет недоразумений, звездочку над равенством будем опускать. Аналогично
Dpc4=_iac9 т е аа = — SabcPbci *
^abc — ЛаЬс4*
Тогда
P-*/-=^ D1^* t (JtL-JL-).
[ —bc 0 ) \ —ас 0 )
В силу (4.4) — (4.5) и (4.25) Z1 и i2 принимают вид
Z1 * _ - b, 2i2 = а2 — Ь2. (4.26)
Для простого бивектора a b = 0. Если ркп — бивектор нулевой, то a b = 0, а = Ь. Возможен случай, когда а-Ь^О, но a2 = b\
Всякий бивектор может быть приведен к некоторому виду, называемому каноническим. В [246], например, к этому виду приводится бивектор электромагнитного поля. Существует две канонических формы этого бивектора. К одной из них приводится непростой бивектор, к другой нулевой.
В случае непростого бивектора с помощью постоянного лоренцева преобразования можно так подобрать псевдодекарто-ву глобальную систему координат, что матрица бивектора примет вид
(ООО р41 \ / 0 0 0 п1
0 0 P23 0 U 0 0 т1 0
0 Ps2 0 0 / = I 0 —ml 0 0
P41 0 0 0 / \— м1 0 0 0
где, вообще говоря, т1=?п1. Вид (4.27) непростого бивектора и называется каноническим. Нетрудно выяснить, в частности, когда An1 = AZ1, имеем і\Ф0, но і2 = 0. Действительно, из (4.27) находим, что инвариант і\ с приведением pkn к канонической форме сводится к одному члену:
211 = P23P14, 2 i2 |al=fcI = P14P14 + P23P23 = 0. (4.28)
(4.24)
(4.25)
I (4.27)
56В случае нулевого поля лоренцевым преобразованием можно так подобрать псевдодекартову систему, чтобы матрица бивектора приняла форму