Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
В голономных системах координат по определению тензор кручения — антисимметричная часть коэффициентов связности. В пространстве Минковского тензор кручения равен нулю. Неголономные координатные системы можно рассматривать как обобщение голономных, поскольку они. переходят в голономные, если устремляется к нулю объект неголономности. Это влечет за собой обобщение величин, рассматриваемых в неголономной системе, пересмотр их определений. В неголономной псевдодекартовой системе антисимметричная часть коэффициентов связности, согласно (3.23), отлична от нуля. Возникает две возможности определения кручения в неголономной псевдодекартовой системе. Во-первых, можно сохранить за ним определение кручения как антисимметричной по двум последним индексам части у{h\n)(r)- Тогда, как видно из (3.9) и (3.28), кручение не будет тензором. Во-вторых, с переходом к неголономной системе можно переопределить кручение, обобщив это понятие следующим образом:
+ &k\n)(r)- (3.32) Тогда, согласно этому новому общепринятому определению, и в силу (3.23) в пространстве Минковского кручение равно нулю не только в голономной, но и в неголономной псевдодекартовой системе координат:
S<*>(n)(r) = 0. (3.33)
Выясним трансформационные свойства кручения при его обобщенном определении. В преобразованной неголономной системе имеем
W(S)' = Y(/)'[(m)'(s)'] + W(S)', (3.34)
т. е.
S^\mnsy = L<»'(ft)L(m)>>L(S).('>S<»(n)(,). (3.35)
Следовательно, обобщенное определение кручения (3.32) сохраняет его тензорный характер.
Выясним, каким будет кручение в пространстве с абсолютным параллелизмом со связностью (3.28). Сначала найдем его непосредственно в неголономной системе dx(h\ Согласно (3.32) и (3.29),
S<*W) - Г<*>[(я><,>] + Q<«(n)(r) - Q(«(A)(r). (3.36)
Затем найдем кручение Sknr в голономной системе, на которую произведено отображение. Тогда по определению с учетом (3.28) получаем
Sknr = T\nr] = LkimArUmK (3.37)
т. е. дополнительная связность, а именно связность с абсолютным параллелизмом, наложенная на голономную псевдодекар-тову систему, обладает кручением. Коль скоро кручение — тензор, то, преобразовав (3.37) к неголономной системе, вновь получим (3.36). Действительно,
S<fc)(n)(f) = LmwUirAsLm^ = ?2<*>(„)(,). (3.38)
Таким образом, общее определение кручения (3:32), обеспечивающее ему тензорные свойства, содержит два предельных случая. Во-первых, если Q^h\n)(r)-^0, кручение определяется только антисимметричной частью связности. Во-вторых, в пространстве с абсолютным параллелизмом кручение определяется только объектом неголономности.
3.4. Общий случай коэффициентов Ламэ. В криволинейных голономных системах метрический тензор зависит от координат, и переход от одной из таких систем к другой осуществляется преобразованием, также зависящим от координат
fii'v = P»>°Pv>Pgoр, P^v - dv^'. (3.39)
45 Отсюда в согласии с (1.30) следует
ddxw - Эо] x»'dxKdx° = 0. (3.40)
[1 2] 1 '2
Это позволяет вводить однозначно во всем пространстве конечные значения криволинейных координат хВ отличие от псевдодекартовой криволинейные системы могут быть введены и в псевдоэвклидовом пространстве Минковского и в неэвклидовом пространстве. Неголономные псевдодекартовы координатные системы можно вводить на базе криволинейной голономной, совершив преобразование с помощью обобщенных коэффициентов Ламэ [17—20, 231, 232]:
ddxW = dp (hv(k)dxv) dx*. (3.41)
12 2 1
Объект неголономности принимает следующий вид:
Шк) = diJhfk)dj<r dxv = QWltv dx11 dx3 (3.42) [12] 12 12' def
QwWW = WtoV4- (3-43)
Очевидно,
Q%V = inv (3.44) относительно следующего преобразования тетрад [223]:
V = V + d»Ah- (3-45)
Выражение (3.44) более общее, чем (3.6), так как относится и к неэвклидовому пространству.
Переход от одной неголономной координатной системы к другой неголономной, если они введены на базе одной и той же голономной криволинейной системы координат, происходит также посредством обобщенного лоренцева преобразования, зависящего от криволинейных голономных координат:
dxW = №MdxW = HlSkYdx* ,
(3.46)
При этом объект неголономности преобразуется также по закону (3.9), в который, однако, входит зависимость Hky(п) от х%:
QWinyiry = L(ky(s)L{ry^nyWQ&(pHq) -
- LW(p)h» UrydllllLiny^.. (3.47)
Изменение опорной криволинейной системы, поскольку
^0-PpMx = Of Pp^ (3.48)
не преобразует, как и в случае (3.12), объекта неголономности.
46 3.5. Коэффициенты вращения Риччи в искривленном пространстве с кручением. Коэффициенты связности голономной криволинейной системы координат Tk11V* по крайней мере некоторые, всегда отличны от нуля и если эта система введена в пространстве с кручением и кривизной, то
def
SxlW=IVv] ^o, (3.49)
def
R0 PiXV = IPiv]+ 2Г° 4lxT* Ipivi ф о. (3.50)
Преобразуя Tkvlv к неголономной псевдодекартовой системе, находим
r<V)(n) =Vfc^v +
+h0^dMh° (m) = V»A* (n)V^ (m). (3-51)
Выделим симметричную часть:
Ц<Н)Ш)М ^ \ Н% {П) lS/K^h)kl1 (m)) +
+ h^K^^l (3.52)
Если выполняется условие
