Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
С этой точки зрения введение в ОТО обобщенных лоренцевых преобразований, а следовательно, и тетрад — необходимое
38 звено между теорией и опытом. Необходимо уточнение, относительно какой системы отсчета проведены расчеты, сравниваемые с экспериментом. Указанная трактовка локальных лоренцевых преобразований и калибровочных условий, связывающая их с системами отсчета, только намечена. Интересно проверить эту трактовку более широко на частных задачах, рассмотрев различные случаи калибровочных условий и соответствующих им обобщенных лоренцевых преобразований. Часто удобно свести задачу к изучению лоренцевых параметров [227].
Наконец отметим, что задание систем отсчета посредством обобщенного лоренцева преобразования, как и в случае постоянного лоренцева преобразования, также абстрагируется от реализации систем отсчета, т. е. подбора тел (поля наблюдателей), которые при своей структуре могли бы совершать движения, требуемые данным обобщенным преобразованием Лоренца. В результате задание систем отсчета обобщенным лоренцевым преобразованием может привести к ограниченно годным абстракциям, с ограниченными возможностями реализации систем отсчета. Например, описание вращающейся системы отсчета посредством обобщенного лоренцева преобразования с параметром v = cor приводит к предельному размеру этой системы (предельному радиусу). Введение равноускоренной системы отсчета обобщенным лоренцевым преобразованием также имеет предел в пространстве — времени. Однако в пределах применимости оно может оказаться полезным.
Таким образом, реперное задание системы отсчета позволяет объединить разрозненные вопросы теории относительности общим релятивистским методом — применением локальных неголономных преобразований Лоренца — и раскрыть связи между различными разделами релятивистской физики. Лоренцевы преобразования с постоянными параметрами, получившие столь широкие применения, находят свое продолжение. Голономные лоренцевы преобразования, а также обобщенные галилеевы преобразования, зависящие от координат, содержатся при этом как предельные случаи.
§ 3. ОБОБЩЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ЛАМЭ
В ПЛОСКОМ И ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВАХ
3.1. Коэффициенты локального лоренцева преобразования как обобщенные коэффициенты Ламэ. Коэффициенты вращения Риччи и обобщенные коэффициенты Ламэ как в плоском, так и в искривленном пространствах исследованы в общем математическом плане в неголономной дифференциальной геометрии. Данный параграф — краткое математическое введение, в котором приводятся необходимые для дальнейшего ос-
39 новные результаты этих исследований. Их изложение дается ниже применительно к 4-мерному пространству — времени с явным и детальным выделением обобщенного лоренцева преобразования из обобщенных коэффициентов Ламэ. Такое изложение подготовляет математический аппарат к виду, пригодному в дальнейшем для непосредственного применения в СТО и ОТО. Допускаются некоторые небольшие повторения рассмотренного в § 1.
Коэффициенты постоянных лоренцевых преобразований, вводимых в пространстве Минковского, могут быть представлены в виде частных производных:
Lk\= =const, (3.1)
дХп
где Xk', Xn — глобальные, голономные псевдодекартовы координаты. Поэтому
d d Xk' =a[rL*'n\dXrdXn =0, (3.2)
[12] 12
ddXk'=dr{Lk'mdXm)dXry 12 2 1
.что дает возможность устанавливать конечные значения голо-номных координат Xk однозначно вне зависимости от пути в данную точку. Координаты в данной точке, если в ней коэффициенты связности равны нулю, называются нормальными [20]. Следовательно, голономные псевдодекартовы координаты б пространстве Минковского являются нормальными для каждой его точки.
Если пространство — время плоско и принятая голоном-ная система координат псевдодекартова, то коэффициенты Ламэ будут обязательно обобщенными и будут в этом частном случае совпадать с коэффициентами локального лоренцева преобразования. Следовательно:
d dxM = dimLn]{k)dXmdXn ф 0, (3.3)
[12] 12
дхЮ
L^n ф . (3.4)
дХп '
В результате зависимости этого преобразования от точки дифференциалы псевдодекартовых координат могут оказаться неполными. В пространстве Минковского обобщенное лоренцево преобразование рассматривается как функция голономных псевдодекартовых координат. Представим (3.3) в виде
ddxW =L\p)Lr{q)dinLrik)dx^dxW. (3.5)
[12] 12
40 Коэффициент в этом соотношении
def
Q<*>(p>(g> = L\v)L\q) d[rLntk) = LWdiipVm, (3.6)
Lr(q)9r = d(q)>
являющийся объектом неголономности, очевидно, отличен от нуля только в случае зависимости лоренцева преобразования от координат.
Найдем закон преобразования объекта неголономности. Запишем его в преобразованной неголономной системе, установленной на базе той же самой голономной псевдодекартовой системы координат:
(л)'(О' = L\r)'L\nyd[iLj]k) . (3.7)
Чтобы найти связь Q^'ww с Q(/J)(n)(r)f преобразуем первое из соотношений (3.7), учитывая, что
L{ky(n) =Lr{k)>Lr(n). (3.8)
Тогда из (3.6)-(3.8) имеем
C>(k)' _ j(k)> J (q) г (P)0(S)
** (n)'ir)'=L (S)Mr)' Цп)' " (p)(q) —
