Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
_ def __ __ __
R0 = 2д[ц Га ,p,v] + 2Га 4vL Г^ ,P1V1 - 0, (3.79)
поскольку
a^dv]Ap<w = 0. (3.80) Введем аналогично (3.67) выражение
_ def __
Г(1)'(т)'(пУ(р)'= 2д[(пу T(z^Km)Kp)'] f
+ 2Г<^> W ^Wl(P)']- (3.81)
Учитывая, что
д(п)'д(Р)' Ф д(р)'д(Пу, (3.82) находим
*1У(тУ(пУ(РУ = Kiiy№ imyh»(nyhv Puv +
+ 2Г<'>W(0-W(P)S (3.83)
т. е. в силу (3.79) имеем
^0W(H)W = 2Г«>' ітуігу Wryinyipyt (3.84)
Обозначим
_ ^ def
Riiy (т)'(пУ(рУ =
- haW'hf> {ту h» (nyhv Pllv. (3.85)
Тогда, согласно (3.83),
RU)\m)'{n)'{py = г{1)'(т)'(п)'(Р)--
- 2Г(/)'(т)'(г)' Q<'>'(/1>W = 0. (3.86)
Как и в случае (3.70), представляется возможность с переходом к псевдодекартовой неголономной системе переопределить кривизну пространства с абсолютным параллелизмом, сохранив за ней тензорный характер. Действительно, RW ітУіпУірУ , согласно (3.85), преобразуется по тензорному закону. Величина же г(/)'(т)'(/г)'(р)', как видно из (3.83), не является тензором. Очевидно, непосредственная подстановка в (3.81) коэффициентов r(/)'(m)'(")', выраженных по (3.74) через обобщенные лоренцевы преобразования, с учетом
dunydimyiLipyW Ф 0 (3.87)
также приводит к (3.84).
3.8. Сводка различных выражений коэффициентов вращения Риччи и символов Кристоффеля через коэффициенты Ламэ и их производные. Выразим в уравнении
утР% = ViaV14VX + (3.88)
символы Кристоффеля через а последние заменим
свертком тетрад, согласно (3.44). Дифференцируя тетрады (3.88), после соответствующих преобразований находим
Ym = h™d[Khv]p - /iVf Aim -
— h™hvphKrd[0hv{. (3.89)
Все три члена этого выражения содержат антисимметрированные производные от коэффициентов Ламэ, а два первых чле- на сходны по своей конструкции. Очевидно, (3.89) представляется в виде
W = Qm%p + + ^Xmp. (3.90) Переходя в аналогичном соотношении
Ympq = ^mqp ^pmq ^qmp (3.91)
к производным от коэффициентов Ламэ, имеем
+ h» qh™d[[xhvb + № ph^d{llhv]qi (3.92)
где также все члены выражены через антисимметрированные производные от Iillk и в отличие от (3.89) все три члена имеют сходную конструкцию. Раскрывая в (3.92) антисимметрированные производные и объединяя члены, содержащие производные от одинаковых компонент коэффициентов Ламэ, приходим к выражению
Ympg= Yld^mkli [pkVgl +
+ ЗЛЛ^ ш] + dji^ ІРНУт& (3.93)
которое содержит простые производные от коэффициентов Ламэ и антисимметрированные произведения этих коэффициентов. В частности, в таком виде коэффициенты вращения Риччи рассматриваются в [65].
Явное выражение коэффициентов вращения Риччи через Iilik и их производные в свою очередь позволяет выразить через Iiyik и O^hlik и символы Кристоффеля. Так, подставляя (3.89) в уравнение
Г?х = A* kdxh0k + W mhaPyV (3.94)
имеем
г* at = ft* Axhok + Ax Jiyi т (hordlThKb + ft/otoftx],). (3.95)
Это выражение, в частности, используется в [233] с целью перехода от метрического к тетрадному уравнению Эйнштейна. Величины, зависящие от пути, использовались в [234]. Вопросы интегрирования в неголономных координатных системах рассматривались, например, в [235].
§ 4. БИВЕКТОРНАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ЛОРЕНЦЕВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
4.1. Бивектор-параметр, его инварианты и делители. Параметризации лоренцева преобразования весьма разнообразны. В качестве параметров могут быть приняты тензоры или более
52 сложные геометрические объекты, если число их независимых компонент равно числу параметров. Так, в [236—239] параметрами 3-параметрического преобразования приняты компоненты 4-вектора, связанные одним условием. В [240] для 6-пара-метрического лоренцева преобразования выбраны компоненты двух единичных 4-векторов, т. е. подчиненных соответственно двум условиям. В [241, 242] введен комплексный трехмерный вектор-параметр и т. д.
К простейшему 6-параметрическому случаю относится и параметризация с параметром — непростым бивектором. Условие простоты бивектора или требование, чтобы он был нулевым, уменьшают число независимых компонент и ведут к частным случаям лоренцева преобразования с числом параметров меньшим шести. Поскольку бивекторная параметризация удобна для дальнейшего, остановимся в данном параграфе на ней детально. Лоренцево преобразование будем записывать в такой форме, в которой легко выделить случаи непростых, простых и нулевых бивектор-параметров.
Введем дуальные или присоединенные компоненты бивектора:
def 1 1
DPkn = -J VunrsPrs. 0Pkn = - TJftnrVw (4.1)
причем распространены два лоренцинвариантных определения дискриминантного тензора r]ftnrs. Следуя [133] и [243], примем сначала первый вариант:
Tl1234 = Ol)"^ ^1234 = - i, Ti1234 = І, (4.2)
е1234 — символ Леви-Чивита [22]. Тогда
Dpkn = I ^ P^1 j f DDpkn ^ + pknm (4.3)
Существует два и только два инварианта, построенных из данного бивектора и бивектора, ему дуального. С помощью (4.3) получаем:
h = Y PknD Pkn = - 2 і (P12P34 + P31P24 + P23P14), (4.4)
PhnPkn = -у DPkn0Pkn- (4.5)
Если оба инварианта i\ и i2 отличны от нуля, бивектор называется непростым, сложным, или двулистным [244], если 11=0—простым, или однолистным. Условие его простоты —
