Обобщенные преобразования Лоренца и их применение - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
VjJI (ftXm) = VxgiiK = 0, (3.53)
то
r((fe)(m))(n) = 0» (З-54)
ґ(HHm)W = — У(m)(k)(n) = —K(m)hK (n)W^ (ft). (3-55)
т. е. коэффициенты связности неголономной псевдодекартовой системы координат, построенной на базе криволинейной голономной координатной системы, при условии (3.53) являются общим случаем коэффициентов вращения Риччи. Очевидно,
Y(ftW>=^(n)Y(* W (3.56)
Аналогично (3.28) находим
Y<r)'<«)'* = L(ry(k)L(Sy(m)4 шмх +
+ L(ry(p)d,L(sy(P>. (3.57)
Выполним преобразование, обратное (3.51):
Гд VX = A* oA(n)Y w<„» + ^ (fc)axvft). (3-58)
Это позволяет ввести тензориальные компоненты коэффициентов связности Y(fe)(m)(n) относительно криволинейной голономной системы:
def
=^ иКт)К'п)y(k\m)W, (3.59)
Y HV*, = Yvhx» У(Н)МК = Y(n)(ft)v
47 Следовательно,
def _
+ ^ ,r)Wr) = ViVX+ Г%х- (3.60)
Если, в частности, псевдодекартова система становится голономной, а это означает переход к псевдодекартовой системе координат в пространстве Минковского, то (3.58) упрощается:
= = (3.61)
Это — коэффициенты связности криволинейной координатной системы в пространстве Минковского.
3.6. Кручение и кривизна в неголономной псевдодекартовой системе координат. Пользуясь (3.51), найдем антисимметричную по двум последним индексам часть коэффициентов вращения Риччи:
Y{к\(т)Ш =2A14W [(H)V^ (m)] =
= - а<*>(т>(л) + V0** (n)he <т)Р* [рх]. (3.62)
По определению (3.49) в преобразованной голономной координатной системе имеем
Srp-V = r^p'VL (3.63)
т. е.
def
SvVt- = PvVVP РТ-Ї Г%х +
+ /*'0d[T'P° X'] = PvV^p г» [|Л]. (3.64)
Следовательно, (3.62) можно переписать в виде
Y<fc)[(m><«)] = - ?(fc)<m><»> + С)ЛР ^ рх- (3-65)
Отсюда вытекает, что и для неголономной псевдодекартовой системы, построенной на базе криволинейной голономной, также естественно определить кручение согласно (3.35). Тогда оно будет тензором и относительно преобразований между криволинейными голономными и псевдодекартовыми неголо-номными системами:
S^mHn) =VfcW (n)ftP (m^PX =
= Г(Л)Е(«,(Я)] +Q(A)(TO,(n)- (3.66)
В голономной псевдодекартовой координатной системе тензор Римана — Кристоффеля Rhnrs равен нулю, поскольку в этой системе Tk nr = 0. С переходом к неголономной системе переопределяется не только кручение, но и тензор Римана — Кристоффеля. Предварительно образуем из Y{к)м(г) величину такой же конструкции, как Rk nrs из Tk nr:
def
r{k\P)(m)(n) - 23[(m) Y^l(Р)|(.)] + 2Y(/j)(^[(m)Y^)|(p)|(n)] . (3.67)
48 Подставив в (3.67) соотношения (3.51) и (3.55) после длительных преобразований, не требующих никаких дополнительных условий, находим
^(PXmXn) = ^(р^ЛЛ^-
-2YW(p,(e)QWxm)(n)- (3.68)
Таким образом, во-первых, f(fe)(p)(mXn) является не тензором. Во-вторых, если криволинейная голономная система установлена в пространстве без кривизны, то в псевдодекартовой неголономной системе
r (ftXpXmXn)- = — 2Y (hHp)(q)®(Q) (тНпУ (3.69)
С переходом к неголономной псевдодекартовой системе координат, как и в случае с кручением, естественно переопределить кривизну, сохранив ее тензором. Тогда по определению тензор кривизны в неголономной системе координат будет иметь вид
de
R(k\nHr)(s) = =
= ^(пНгХ.) + 2у<*><„><,>Й<«><ж.>. (3.70)
где
RwMw=K^hO MR° (3.71)
Заменяя в (3.71) коэффициенты Txma,, входящие в R0 Рмд;, суммой двух членов, согласно (3.58), после преобразований, не требующих никаких дополнительных условий, находим
Rik\n)w = 4»y(k)Un)M + Sy^p^Y^iwiv]. (3.72)
Предполагается, что обход по замкнутому контуру задан в опорной голономной системе координат. Задание контура не-голономными координатами приводит в (3.70) ко второму, дополнительному члену, зависящему от объекта неголономности.
3.7. Связность абсолютного параллелизма и общий случай коэффициентов Ламэ. Рассмотрим Iu ^v, определенные соотношением (3.60), как коэффициенты новой, дополнительной связности, наложенной на криволинейную голономную систему координат, связности с абсолютным параллелизмом. Преобразуем коэффициенты Tk ^iv к той неголономной псевдодекартовой системе координат, которая участвует в их построении. Аналогично (3.32) имеем
+ VawAffw = 0. (3.73)
4. Иваницкая О. С. 49 Однако, как и в случае (3.33), переход к неголономной псевдодекартовой системе, не участвующей в построении дает результат отличный от нуля, совпадающий с (3.33):
Г(/)'(т)'(л)' = h«rh\myh\ny{h»{k)dJlM) +
+ h0vyd{nyh° {ту = L^\h)d(nyL(my <*>. (3.74)
Найдем тензор кручения, соответствующий связности с абсолютным параллелизмом. Коль скоро Iu ^v заданы в голономной системе, то по определению
^ VX = ^ [vJt] = h» kd^hv]k. (3.75)
Преобразуем тензор кручения к неголономной системе. Тогда
Sf0MW = Kl)h\r)h\) = &l\r)uy (3.76)
Этот же результат вытекает непосредственно и из общего определения кручения в неголономной системе, если учесть (3.73):
Sa\rns) = Г <'>[(,)(,)] + Q(,)W(0 = О(0мЫ (3.77)
ИЛИ
Г* [VX] = » (,) V^V^^tmXn), (3-78)
т. е. в согласии с (3.61), если объект неголономности равен нулю во всем пространстве, то коэффициенты Г ^ = (k) dKhJk) симметричны по последним двум индексам и являются коэффициентами связности криволинейной голономной системы координат в пространстве Минковского. Тогда тензор Римана — Крис* тоффеля, построенный из Iu ^v, обращается в нуль. Однако это имеет место и в общем случае, когда пространство неэвклидово. Действительно, образуя из коэффициентов fK ^v тензор Римана—Кристоффеля, непосредственным вычислением убеждаемся, что
