Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
поверхности, касательной к векторам вида aei + /Зег- В силу изотропии
трехмерного пространства, К не зависит от ориентации плоскости (ei, ег).
Иными словами, тензор Rijki переходит сам в себя при преобразованиях
вращения в используемом локально-евклидовом пространстве, т. е. должен
выражаться через тензор 8тп. Поэтому, с учетом свойств симметрии (3.44),
(3.45), а также равенства R1212 = К, тензор кривизны выглядит в локально-
евклидовом пространстве следующим образом:
Rijki - KiSikSji SnSjk) •
Естественное обобщение полученного равенства на произвольные координаты
таково:
Rijki = К (gikgji - gugjk) ¦ (9.1)
98Глава 9. Космология и ОТО
Коэффициент К в этом равенстве не зависит от координат, в чем нетрудно
убедиться, подставив соотношение (9.1) в свернутое тождество Бьянки
(3.53). Таким образом, изотропное пространство одновременно является
однородным. Однако константа К может зависеть от времени.
Свертка соотношения (9.1) по ik и по jl связывает коэффициент К со
скалярной кривизной R трехмерного пространства:
R = Ш.
В зависимости от знака скалярной кривизны, возможны три существенно
разных случая пространственной метрики изотропного пространства: 1)
пространство постоянной положительной кривизны, К > 0; 2) пространство
постоянной отрицательной кривизны, К < 0; 3) пространство нулевой
кривизны, К = 0. Разумеется, последний случай соответствует плоскому,
евклидову пространству.
Геометрию пространства постоянной положительной кривизны удобно
исследовать, рассматривая ее как геометрию на трехмерной гиперсфере в
неком вспомогательном четырехмерном евклидовом пространстве (разумеется,
не имеющем отношения к четырехмерному пространству-времени). Уравнение
гиперсферы радиуса а в этом пространстве имеет вид
2 , 2 . 2 . 2 2 Х\ + #2 + х3 + Х4 = a 1
а элемент длины на ней равен
dl2 = dx\ + dx 2 + dx з + dx2.
Выражая вспомогательную координату х± через физические х±, Х2, Жз и
исключая dx2 из dl2, находим
Лг ^ dxj + dzl + dzl+ indXl + + ""f ">*. (9,2)
Cl x X x2 xz
Чтобы связать постоянные a2 и К, положим х% = 0. Ясно, что полученная
таким образом поверхность - двумерная сфера с гауссовой кривизной
(9.3)
Перейдем от х% к сферическим координатам г, 0, ф. Вмес-
то прямого пересчета заметим, что при смещении вдоль радиуса, т. е.
9.1. Геометрия изотропного пространства99
при dr||r, продольный интервал равен
С другой стороны, при смещении dr ± г поперечный интервал составляет
dl\j_ = dr2. Ясно отсюда, что в сферических координатах
dr2
dl2 = ~----ч~т^> + r2(dd2 + sin2 ddcp2). (9.4)
1 - r1 j a2
Разумеется, начало координат может быть выбрано в любой точке
пространства. Длина окружности в этих координатах равна 2irr, а
поверхность сферы равна 47гг2. Длина радиуса окружности и сферы
Г dr .г
I - = = a arcsm -
Jo V1 ~ г210-2 а
больше г.
Далее, удобно ввести четырехмерные сферические координаты а,
0<Х<7Г,0<6<1г,0<ф<21гво вспомогательном пространстве:
х± = a sin х sin в cos ф, Х2 = a sin х sin в sin ф, хз = a sin х cos в,
Х4 = a cos х-
При этом, очевидно, г = asin% и интервал становится равным
dl2 = a2[dx2 + sin2 x{d02 + sin2 6dф2)\. (9.5)
В новых переменных расстояние точки от начала координат равно ах-
Поверхность сферы S = 47га2 sin2 х 110 мере удаления от начала растет и
достигает на расстоянии жа/2 максимального значения, равного 47га2. Затем
она начинает убывать и обращается в нуль на максимально возможном
расстоянии ж а. Объем пространства с положительной кривизной конечен:
/"27Г /"7Г /"7Г
V= I dф sin в d9 I sin2 х dx а3 = 2ж2а3. (9.6)
Jo Jo Jo
Разумеется, однако, границ у этого пространства нет. Отсюда следует, в
частности, что полный электрический заряд в таком пространстве равен
нулю. Действительно, любая замкнутая поверхность в конечном пространстве
охватывает с обеих своих сторон конечные области
100Глава 9. Космология и ОТО
пространства. Поток электрического поля через эту поверхность равен
полному заряду, находящемуся в области по одну сторону поверхности. Но он
же равен полному заряду в области по другую сторону поверхности, взятому
с обратным знаком. Ясно отсюда, что сумма зарядов с обеих сторон
поверхности равна нулю. По аналогичной причине равен нулю и полный 4-
импульс во всем замкнутом пространстве.
Обсудим теперь пространства с постоянной отрицательной кривизной. Из
(9.3) ясно, что формально это соответствует замене a -"¦ ia. Поэтому
геометрия пространства отрицательной кривизны соответствует геометрии на
четырехмерной псевдосфере мнимого радиуса. Теперь
* = -1.
a1
а элемент длины в координатах г, 0, ф равен
= 1^2 / 2 + r2 + Sin2 0#2) )
1 + rz jal
причем 0 < г < оо. Замена переменных г = ashy; дает
dl2 = a2 [dy2 + sh2 X(de2 + sin2 6d<j)2)\. (9.7)
Объем пространства отрицательной кривизны бесконечен.
Разумеется, возможен и случай плоского, евклидова мира, где К = 0.
Задачи
9.1.1. Доказать, что К не зависит от координат.
9.1.2. Доказать равенство (9.3) прямым расчетом скалярной кривизны
