Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
видеть, что в пределе слабого поля космологический член в волновом
уравнении сводится к постоянному слагаемому, а отнюдь не к добавке -
соответствующей конечной массе. Таким образом, в рамках общековариантного
уравнения второго порядка нет места для ненулевой массы гравитона.
Никаких экспериментальных указаний на конечную массу гравитационного поля
не существует. Ее обнаружение означало бы принципиальный выход за рамки
ОТО.
82Глава 8. Гравитационные волны
Задачи
8.1.1. Найти компоненты тензора Римана для плоской гравитационной волны,
распространяющейся вдоль оси z.
8.1.2. Найти изменение во времени относительного расстояния между двумя
частицами под действием плоской гравитационной волны, распространяющейся
вдоль оси z. Принять, что вначале частицы находились в плоскости ху.
8.1.3. Найти частоту прецессии спина в поле плоской гравитационной волны,
распространяющейся вдоль оси z.
8.2. Излучение гравитационных волн
Вернемся к волновому уравнению (4.5). Взяв от него след и выразив таким
образом Хал через h\\, перепишем это уравнение в виде
где ф^ = | Pnvhw- Как видно из уравнения (8.5), гармоническое
условие = 0 на поле волны естественным образом согласуется с
законом сохранения дфГ= 0. Следует отметить, что уравнение (8.5), конечно
же, линейно по полю гравитационной волны, однако не обязательно линейно
по гравитационному полю вообще. Достаточно взять простой случай, когда
источником служит система нерелятивистских частиц, связанных
гравитационными силами. Ясно, что без учета вклада тензора натяжений,
квадратичного по гравитационному потенциалу ф, X)j" сохраняться не будет.
Запаздывающее решение уравнения (8.5) таково:
Как показано в разделе 8.1, в волновой зоне h\\ ->¦ 0 , так что в этой
области ф^ -"¦ /ip", да и от /ip" остаются лишь чисто пространственные
Пф^ = 167Г кТ^,
(8.5)
dr'Т^фг',t - |R - r'|)
|R - r'|
8.2. Излучение гравитационных волн83
компоненты. Кроме того, здесь, при R г', как обычно, можно заменить в
знаменателе под интегралом |R - r'l -"• R. В итоге на больших расстояниях
имеем:
4 к Г
hmn(R,t) = - - / dr'Tmn(r',t- |R - r'|).
Для системы нерелятивистских частиц подынтегральное выражение в правой
части удобно преобразовать так, чтобы вместо Ттп, зависящего от деталей
движения и взаимодействия этих частиц, в него вошло просто распределение
их масс. Для этого проинтегрируем сначала с весом хи закон сохранения
д^Т^п = 0:
J" dv Xk {доТоп + 3mTmn) = Ot j dv Xk Ton J* dv Tkn = 0.
Учитывая симметрию Ткп = Tnk, перепишем полученное соотношение так:
/*Л" = I в,/*(зЛ> + х"ад.
Аналогично, проинтегрировав с весом ж&ж/ закон сохранения = 0,
получаем
J" dv Xk xi (д0Т00 Т dmTm0) - dt J* dv Xk xi Tqq J" dv [xk Tqi T xi Tq/.)
- 0. Таким образом,
h-mn = ^t J dv Xk xi Too-
Учтем теперь, что для нерелятивистской системы Т00 совпадает с плотностью
массы р, а в волновой зоне hnn = 0. Тогда ответ выражается через
квадрупольный момент распределения массы qmn:
тп~~Ш
Чтп, Ятп = J dr(3xkXi ~Г26Ы)р. (8.6)
Ответ представляется достаточно естественным по следующим причинам. Если
мультипольное разложение векторного электромагнитного излучения, т. е.
поля в волновой зоне, начинается с дипольного члена, то заранее можно
было ожидать, что для тензорного гравитационного излучения такое
разложение начнется с квадруполя. С другой
84Глава 8. Гравитационные волны
стороны, хорошо известно, что для системы частиц с одинаковым отношением
е/m отсутствует и электрическое дипольное, и магнитное дипольное
излучение. А для гравитационного поля роль отношения е/т играет отношение
гравитационной массы к инертной, которое, как известно, для всех частиц
одинаково. Поэтому дипольного гравитационного излучения быть не должно.
Перейдем теперь к расчету интенсивности гравитационного излучения. Для
этого нам нужна плотность потока энергии гравитационного поля, т. е. ?q
компоненты его тензора энергии-импульса (ТЭИ). Что касается ТЭИ материи
Tjf, то он удовлетворяет условию
Благодаря наличию слагаемого -TPVT^ в этом соотношении, ТЭИ материи Т? не
сохраняется, что вполне естественно в присутствии гравитационного поля.
Но тогда следует построить из (или hрг/) такую величину t?, чтобы имело
место соотношение
Теперь стандартным образом получаем закон сохранения 4-импульса:
Однако истинного тензора не существует. Действительно, в силу принципа
эквивалентности, систему координат можно всегда выбрать так, что в любой
заданной точке метрика станет плоской, а ее первые производные обратятся
в нуль. Но тогда в этой точке обращается в нуль и структура которая
строится из первых производных. Для истинного тензора это означает, что
тензор равен нулю тождественно. Тем не менее, подходящий псевдотензор t%,
который ведет себя как тензор при линейных преобразованиях координат,
построить можно, и даже не единственным способом. При этом для
асимптотически плоской системы полные энергия и импульс сохраняются и
определены интегралами (8.7) однозначно.
