Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
пространства. Вычисление удобно проводить вблизи начала координат, т. е.
для малых х±, жг, хз.
9.1.3. Преобразовать интервал (9.4) к виду, где он пропорционален
евклидову выражению.
9.1.4. Доказать соотношение (9.6).
9.2. Изотропная модель ВселеннойЮ1
9.2. Изотропная модель Вселенной
В случае замкнутой Вселенной наглядный 2-мерный аналог решения, которое
мы ищем, - раздувающаяся сфера, мыльный пузырь. В сопутствующей системе
координат материя на сфере покоится, т. е. угловые переменные каждой
пылинки не меняются, лишь радиус сферы растет со временем. В нашей же
задаче 3-мерного пространства остаются постоянными координаты х, в, ф
каждой галактики, растет лишь шкала расстояний a(t).
Ввиду отсутствия выделенного направления в пространстве компоненты gom
(тп = 1,2,3) метрического тензора, образующие 3-мерный вектор, должны
обращаться в нуль. Компонента goo зависит только от t, так что надлежащим
выбором временной координаты можно обратить goo(Й2 в dt2. Итак, 4-мерный
интервал приводится к виду
ds2 = dt2 - dl2 = dt2 - a2(t)[dx2 + sin2 x{d92 + sin2 вdф2)].
Удобно перейти от времени t к новой переменной t], определяемой
соотношением dt = a(t)dj). В результате интервал записывается в виде
ds2 = a2(t]) [dt]2 - dx2 - sin2 x(dd2 + sin2 6dф2)\ . (9.8)
Чтобы записать уравнения Эйнштейна, нужно вычислить тензор Риччи. Вклад в
него дает, во-первых, кривизна 3-мерного пространства. Этот вклад сразу
находится из формулы (9.1) (с учетом псевдоевклидовости 4-мерного
пространства):
R{S = ~^m- (9-9)
Другой вклад в тензор Риччи обусловлен зависимостью метрики от т].
Компоненты символа Кристоффеля, содержащие производную по t] (ее
обозначаем штрихом), равны
Г?о = - , ^ gii, Г* - = -8). (9.10)
a J aA J a J
Компоненты и Г(,0 равны нулю, так как в нашем 3-мерном пространстве нет
выделенного направления. По этой же причине обращаются в нуль компоненты
Д0* тензора Риччи. Его чисто временная компонента равна
1ШГлава 9. Космология и ОТО
И наконец, соответствующий вклад в чисто пространственные компоненты
равен
<!|=(S+ ?) • (9Л2)
Полное выражение для пространственных компонент тензора Риччи таково:
?(1) I Г>(2)
Rij ~ Rij' + Rij' ~ Sij ( ^ -Г + ^ ) • (9ЛЗ)
Скалярная кривизна равна
й =-6 (1? +;?) •
так что 00 компонента уравнения Эйнштейна записывается в виде 1
2 ouu~~ "\а2
Доо - о 8ooR - 3 ( + 1 ) - 87гк Too-
Совершенно аналогичные вычисления в случае открытой Вселенной приводят к
уравнению, отличающемуся от этого лишь знаком при 1 внутри скобки. А для
Вселенной, в которой трехмерное пространство само по себе плоское,
евклидово, это слагаемое вообще отсутствует. Что же касается правой
части, то, поскольку u° = drj/ds = 1/а, имеем и для замкнутой, и для
открытой, и для плоской Вселенной
2оо = googooPU°u° = pa2-
Итак, в общем случае изотропной Вселенной обсуждаемое уравнение имеет
следующий вид:
a'2 q 87г , . "
V + ^ = (0Л4)
Здесь и ниже q = 1 для замкнутой Вселенной, q = - 1 для открытой
Вселенной, q = 0 для плоской Вселенной.
Поскольку в используемой сопутствующей системе координат пространственные
компоненты 4-мерной скорости равны нулю, т. е. координаты х, в и ф каждой
пылинки не зависят от р, то все остальные компоненты тензора энергии-
импульса пыли, кроме Т0о, равны нулю.
9.2. Изотропная модель ВселеннойЮ3
Компоненты On уравнений Эйнштейна вырождаются в тождества 0=0, a mn
компоненты выглядят так:
о а" а>2 Ч ^ _ п
^ "з" - Т + 2 I ётп - О,
\ ar a4 /
или просто
2^-4 + 4=°- (9.1.5)
аг а4
Заметим, что если переход от трехмерной геометрии замкнутой
Вселенной к геометрии открытой сопровождается заменой а -> ia,
то со-
ответствующий переход в динамическом уравнении (9.15) требует еще одной
замены: р -> ip.
Объем замкнутой Вселенной растет в процессе расширения ~ а3, а полная
масса пыли остается постоянной, так что плотность пыли меняется по закону
р = с/а3. С учетом этой зависимости приходим к уравнению для замкнутой
Вселенной
/2 2 4-7Г
а +а = 2аоа, где ао= -fee,
О
или
а'2 + (а - ао)2 = а$.
Это, очевидно, интеграл энергии для осциллятора с положением равновесия в
точке а = ао - При соответствующем выборе начального условия решение для
а(р) таково:
а = ао(1 - cos rf). (9.16)
Так как по определению dt = adp, то
t = ao(p - smp). (9-17)
Уравнения (9.16), (9.17) описывают в параметрической форме эволюцию
замкнутой Вселенной. Эта эволюция имеет циклический характер: расширение
из точки до атах = 2ао сменяется сжатием в точку, а затем все начинается
сначала.
Перейдем к случаю открытой Вселенной. Глядя на (9.16) и помня
о том, что этот переход сопряжен с заменой р ^ ip, а также
о том, что
а > 0, естественно предположить, что в этом случае
а = а0( chp - 1).
(9.18)
104Глава 9. Космология и ОТО
Легко проверить, что функция (9Л8) действительно удовлетворяет уравнению
(9.15) (при q = -1). Соответственно, в этом случае
t = a0(shjj - rj). (9.19)
Здесь расширение из точки продолжается бесконечно. Плотность пыли,
