Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хриплович И.Б. -> "Общая теория относительности " -> 25

Общая теория относительности - Хриплович И.Б.

Хриплович И.Б. Общая теория относительности — И.: НИЦ, 2001. — 120 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositelnosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 36 >> Следующая

В интересующем нас случае слабой гравитационной волны псевдотензор Щ
строится достаточно просто. Начнем с действия (6.8). Заметим, что в нашем
случае слагаемое - в подынтегральной
(8.7)
8.2. Излучение гравитационных волн85
плотности можно сразу отбросить. Действительно,
в пределе слабого поля равно hPPyP - 1/2 hpPyP и обращается в нуль в силу
гармонического условия. На самом деле, само это условие вне рамок
линейного приближения формулируется в виде
Нетрудно показать, что и второй множитель в этом слагаемом, Ттрт,
обращается в нуль для гравитационной волны. Оставшиеся члены второго
порядка по hpp в действии приводятся после интегрирования по частям и
отбрасывания полных производных к следующему виду:
Здесь учтено условие гармоничности и то, что в волне hpp = 0. Если учесть
к тому же, что в волне hop = 0, то подынтегральное выражение, равное
лагранжевой плотности свободной гравитационной волны, выглядит так:
Теперь плотность потока энергии вычисляется так же, как это делается
обычно (см. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теория поля, §32):
Мы учли здесь, что в плоской волне НтПуз = -
Конечно, для волны, распространяющейся вдоль оси 3, hmnhmn = = hh + h22
+2h\2. Однако расчет полной интенсивности излучения требует
интегрирования по углам, т. е. по направлениям п распространения волны.
Поэтому структуру h\ 1 + h\2 + 2h\2 надо переписать в виде, пригодном для
произвольного п, а не только направленного вдоль оси 3. Прежде всего,
тензор, квадрат которого входит в ответ, должен лежать в плоскости,
ортогональной п, т. е. удовлетворять условию nmhmn = 0. Такой поперечный
тензор выглядит следующим образом:
= 0.
(8.8)
(8.9)
86Глава 8. Гравитационные волны
Но это еще не все. Тензор, входящий в ответ, должен, кроме того, иметь
нулевой след. Поэтому его правильный вид для произвольного направления п
таков:
Итак, свертка, которая входит в ответ, при произвольном п равна hmnhmn.
Простые преобразования дают
Удобно сразу усреднить это выражение по направлениям п. С помощью формул
Теперь, с учетом соотношений (8.6), (8.9), (8.11), находим окончательный
ответ для полной интенсивности гравитационного квадруполь-ного излучения
(А. Эйнштейн, М. фон Лауэ, 1918):
В этом ответе восстановлена явная зависимость от скорости света с.
Как и следовало ожидать, полученный результат (8.12) весьма близок по
своей структуре к соответствующей формуле для электромагнитного
квадрупольного излучения (см., например, Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц Теория
поля, §71). В частности, он также имеет порядок малости с-5.
Обсуждаемый эффект чрезвычайно мал, регистрация гравитационного излучения
от любого мыслимого земного источника выглядит совершенно нереальной.
тп
hmnhmn - hmnh.
2nirijhmihjn -\- 2 {j^m^nhrnn) •
получаем
(8.11)
(8.12)
Задача
8.2.1 Вывести соотношения (8.10).
8.3. Гравитационное излучение двойных звезд87
8.3. Гравитационное излучение двойных звезд
Что же касается обнаружения гравитационных волн от некоторых космических
источников гравитационного излучения, в частности от двойных звезд, то
здесь ситуация иная. Рассмотрим поэтому несколько подробнее задачу о
гравитационном излучении двух тел, связанных гравитационным
взаимодействием. Если расстояние между телами много больше размеров
каждого из них, то оба тела можно считать точечными. Тогда
здесь mi52 - массы тел, rij2(t) - их траектории. Квадрупольный момент
этой системы равен
где р = + m2) - приведенная масса, а г = ri(t) - r2(t) -
относительная координата. Используя уравнение движения
где 1 = р [г х v] - орбитальный момент системы.
В простом случае круговой орбиты (когда (rv) = 0) легко находим, что
полная интенсивность излучения, или потеря энергии в единицу времени,
равна
р(г) = mi J(r - ri (t j) + m2 S(r - r2(i));
km
r =------------- r, m = mi + m2
г
и результат его дифференцирования по времени
г
km
3r(rv)"
v ' v = r'
Г 2.
получаем
(8.13)
dE 32 k4mlml(mi + m2) dt 5 c5r5
88Глава 8. Гравитационные волны
Учитывая соотношение Е = -kmim,2/2r, получаем, что скорость сближения
компонент двойной звезды за счет гравитационного излучения составляет
64 k3mim2(mi + m2)
5 с5 г3
Качественно эти результаты, разумеется, справедливы и для случая
эллиптической орбиты с не слишком большим эксцентриситетом.
Хотя гравитационное излучение даже от двойных звезд до сих пор не было
обнаружено непосредственно, имеется прямое указание на то, что оно
реально существует. Тщательные измерения импульсов радиоизлучения от
двойного пульсара PSR 1913+16 (см. краткие сведения о нем в разделе 6.3)
показали, что компоненты этой двойной звезды сближаются на несколько
метров в год. Эффект количественно в точности такой, каким он должен быть
за счет потери энергии на излучение гравитационных волн. Заметим, что их
энергия в данном случае огромна, она сравнима с полной энергией излучения
Солнца.
Ожидается, что в ближайшие несколько лет гравитационное излучение двойных
звезд будет непосредственно зарегистрировано приемниками, использующими
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 36 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed