Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
которая определяется здесь уравнением (9.14), с ростом rj падает,
характер разлета приближается к свободному, так что в асимптотике радиус
а растет линейно со временем.
И наконец, в случае плоской Вселенной, наряду с тривиальным решением a =
do, t = aoTj, существует нетривиальное:
a = aoTj2, t= ^ rf, или a(t) ~ t2^3. (9.20)
Это решение соответствует интервалу вида
ds2 = dt2 - a\t^lz{dx2 + dy2 + dz2).
На самом деле зависимость ait) ~ t2/3 имеет место и в двух других
случаях, но только при малых временах. В этом нетрудно убедиться,
рассматривая соответствующие формулы, (9.16) и (9.17), (9.18) и (9.19), в
пределе rj -> 0. В указанном пределе
da 1 /о
-Г1'3 -"¦ оо.
dt
Заметим, что для замкнутой Вселенной такой же режим наступает и при
последующем сжатии в точку.
Однако в области сингулярности, где плотность р обращается в
бесконечность, найденное описание неприменимо. Прежде всего, здесь
непригодно приближение "пыли", используемое для описания вещества. Но
есть и более глубокая причина: здесь мы имеем дело с предельно сильными
полями и поэтому необходима квантовая теория гравитации.
Задачи
9.2.1. Получить соотношения (9.10) - (9.13) и аналогичные формулы для
открытой Вселенной.
9.3. Изотропная модель и наблюдения!05
9.2.2. Найти асимптотическое поведение при t -> сю плотности р в открытой
Вселенной.
9.2.3. Получить соотношения (9.20) для плоской Вселенной.
9.3. Изотропная модель и наблюдения
Вернемся в нынешнюю эпоху. Выберем положение наблюдателя за начало
координат в изотропной Вселенной. При этом расстояние до галактики с
координатами у, в, ф составляет I = ах, а скорость ее удаления,
обусловленного расширением Вселенной, равна
da 1 da
v = - у =------- (ay) = HI.
dt a dt
Таким образом, замечательное качественнное предсказание модели состоит в
том, что скорость v "разбегания" галактик (в данный момент t)
пропорциональна расстоянию I между ними. Это предсказание находится в
согласии с наблюдениями красного смещения в спектрах галактик, которое
интерпретируется как доплеровское. Численное значение коэффициента
пропорциональности, т. н. постоянной Хаббла, полученное из современных
астрономических наблюдений, таково:
Н = - - = 57 ± 11 км/с/Мпк (9-21)
a dt
(1 Мпк (Мегапарсек) = 10(r) парсек, 1 парсек и 3 световых года).
Вернемся к уравнению (9.14). Его можно переписать в следующей форме:
тт2 , 9 _ 8?Г
Н + -т- - -- к р,
р~Рс+ ыЬ • (9-22)
Здесь введена т. н. критическая плотность
ЮбГлава 9. Космология и ОТО
указанная численная величина рс соответствует значению (9.21) для
постоянной Хаббла. Из формулы (9.22) видно, что тип геометрии Вселенной
определяется соотношением между истинной плотностью р и параметром рс,
выражающимся через постоянную Хаббла. Если плотность больше критической,
Вселенная замкнутая; если меньше критической, - открытая; если равна
критической, - плоская.
Обычно обсуждается отношение О, = р/рс- Оценки средней плотности
вещества, основанные на светимости галактик, дают для плотности видимой
материи и 0,1. Однако плотность невидимой, темной материи, по-видимому,
гораздо больше. На это указывают, в частности, оценки массы скоплений
галактик, основанные на распределении скоростей отдельных галактик.
Количественно для темной материи П2 и 0,4.
Более того, анализ совокупности данных наблюдательной астрономии, а также
серьезные теоретические соображения, указывают на то, что Вселенная
должна быть плоской, иными словами, на то, что О, = 1. В настоящее время
это рассматривается как серьезное указание на существование ненулевой
космологической постоянной А, эффективно дающей вклад ври дополняющей,
таким образом, fli+fb До единицы. Заметим, что требуемая величина А
ничтожно мала (речь идет о характерных значениях А/87гк ~ рс ~ 3 • Ю-30
г/см3), так что едва ли она может проявиться где-либо, кроме космологии.
Обсудим теперь связь между постоянной Хаббла и возрастом Вселенной. Для
плоского мира, при О, = 1, из соотношения (9.20) следует, что H(t) = (1
/a)da/dt = 2/3L Это означает, что в предположении плоской Вселенной ее
возраст Т (т. е. время, прошедшее с момента, когда плотность была
бесконечной) связан с нынешним значением (9.21) постоянной Хаббла
соотношением
'' 1,г (0-23>
Очевидно, найденное соотношение имеет место также на ранних стадиях
разлета в замкнутой и открытой Вселенной, где в обоих случаях а ~ t2/z.
Даже на поздней стадии разлета открытой Вселенной, когда плотность уже
настолько мала, что а линейно растет со временем, связь между Т и Н
отличается от (9.23) лишь коэффициентом: 1 вместо 2/3. Таким образом,
поскольку отношение 12, во всяком случае, не столь далеко от 1, оценка
(9.23), по-видимому, вполне разумна. Численное значение возраста
Вселенной при Н и 60 км/с/Мпк составляет, согласно
9.3. Изотропная модель и наблюдения107
соотношению (9.23),
Т и 12 • 109 лет. (9.24)
Возраст Земли, согласно данным по содержанию радиоактивных элементов в
земной коре, составляет около 4- 109 лет. Оценки возраста старых звездных
