Общая теория относительности - Хриплович И.Б.
Скачать (прямая ссылка):
меньше. Чем же кончается этот процесс? Очевидно, звезда не может
высветить больше энергии, чем имеет. Излучение заведомо прекратится,
когда температура черной дыры станет сравнимой с ее энергией покоя, при
2 ml с2
Мс2 ~ Т ,
М
т. е. когда масса минидыры уменьшится до планковской:
М ~ тр.
Здесь наше полуклассическое рассмотрение квантовых эффектов в окрестности
черных дыр, да и в гравитации вообще, теряет применимость. Здесь
требуется последовательная квантовая теория гравитации. Однако такой
теории до сих пор не существует.
Вернемся к вопросу, могли ли дожить до нашего времени яркие минидыры,
возникшие на ранних стадиях эволюции Вселенной. Согласно формуле (10.8),
начальная масса самого яркого подобного долгожителя выглядит достаточно
скромно: она составляет примерно 1015 г. Однако последняя стадия его
эволюции накануне выхода на планковские масштабы должна быть весьма
впечатляющей: взрыв мощностью в тысячи
114Глава 10. Насколько черны черные дыры?
самых больших водородных бомб. Эти явления до сих пор астрономами не
наблюдались.
10.2. Энтропия черных дыр и площадь горизонта. Квантование черных дыр
Теперь, когда температура (10.5) черной дыры вычислена, нахождение ее
энтропии становится простой задачей. Хорошо известное термодинамическое
соотношение dE = TdS связывает приращение энергии тела Е с приращением
его энтропии S. В нашем случае Т задано формулой (10.5), а Е = Мс2. Решая
возникшее дифференциальное уравнение
,., tic
dM = dS
8тгкМ
с естественным граничным условием
5 = 0 при М = 0,
находим
4:irkM2 Не
Удобно ввести т. н. планковскую длину
Нк
,р= - =1,6-10"33 см. (10.10)
И тогда приходим к следующему замечательному соотношению между энтропией
черной дыры и площадью ее горизонта А = 4тгг2:
7ГГ| =
II щ-
Пропорциональность энтропии площади горизонта была установлена Дж.
Бекенштейном (1973).
Второе начало термодинамики накладывает серьезные ограничения на
возможные процессы не только в обычной жизни. Оно играет важную роль и в
физике черных дыр. Из него следует, в частности, важное утверждение: при
любом взаимодействии между черными дырами сумма площадей их горизонтов
возрастает или остается постоянной. Впервые оно было получено С. Хокингом
(1971) из совершенно иных соображений.
10.2. Энтропия, площадь горизонта, квантование 115
Поучительными особенностями обладают температура и энтропия черных дыр,
имеющих заряд и внутренний момент количества движения. К сожалению,
рассмотрение решения Керра, описывающего дыру с внутренним моментом,
чрезвычайно громоздко2. Ограничимся поэтому рассмотрением заряженных
черных дыр.
Покажем, что и для заряженной черной дыры энтропия связана с площадью ее
горизонта
Arn = 4жг2.п = 4ж |кМ + л/к2М2 - kq2^j (10.11)
тем же соотношением Агп/412 (радиус горизонта ггп для решения Райсс-нера
- Нордстрема дается формулой (6.27), здесь мы обозначаем заряд черной
дыры через q). Вспомним, что энтропия не меняется при адиабатическом,
медленном изменении параметров системы. Именно это имело место в примере
с адиабатическим опусканием груза на поверхность горизонта
шварцшильдовской черной дыры: масса дыры и площадь ее горизонта не
менялись. Рассмотрим теперь аналогичный адиабатический захват частицы
заряженной черной дырой. Пусть частица с зарядом е имеет на бесконечности
полную энергию е, лишь слегка превышающую eq/rrn. Из-за кулоновского
отталкивания эта частица достигает горизонта очень медленно. В результате
захвата масса черной дыры увеличивается на AM = е ( ф 0!), а ее заряд -
на Дq = е. Изменение поверхности горизонта в этом процессе
д * 8жггпк .. ., . . 8жггпк
AArn = = (AM rrn - Aqq) = = (е rrn - eq)
Ик2М2 - kq2 У Нк2М2 ~ Ьf
исчезающе мало для непредельной черной дыры (при q2 < кМ2) в силу условия
е -> eq/rrn.
Аналогичный результат справедлив и для керровской черной дыры. (Ее
внутренний момент J ограничен условием J2 < к2М4, у предельной керровской
дыры J2 = к2М4.)
Таким образом, площадь горизонта непредельных черных дыр не меняется при
адиабатических процессах (Д. Кристодулу, Р. Руффини,
2Даже в книге Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица, Теория поля, §104, вместо соот-
ветствующего решения уравнений ОТО приводится сноска: "В литературе нет
конструктивного аналитического вывода метрики Керра, адекватного ее
физическому смыслу, и даже прямая проверка этого решения уравнений
Эйнштейна связана с
громоздкими вычислениями".
ПбГлава 10. Насколько черны черные дыры?
1970, 1971). Поэтому в общем случае энтропия черной дыры пропорциональна
именно поверхности горизонта:
А чему равна в общем случае температура черной дыры? Обобщение
термодинамического соотношения dM = TdS для заряженного объекта выглядит
так:
где ф - электростатический потенциал. Дифференцируя выражение (10.12),
находим:
Из этого соотношения следует, в частности, важный вывод: температура
предельной черной дыры равна нулю. Этот результат справедлив и для
керровской черной дыры.
Однако интенсивность излучения предельных черных дыр отнюдь не равна
